अंकगणित

अंकगणितात प्रामुख्याने धन पूर्णाकांच्या (म्हणजे १, २, ३, ४... या नेहमीच्या स्वाभाविक संख्यांच्या) गुणधर्मांचा अभ्यास केला जातो. धन पूर्णांकांची बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकार इ. गणितकृत्ये तसेच क्षेत्रफळ, घनफळ, व्याज, सरासरी, शेकडेवारी इ. व्यवहारोपयोगी प्रश्नांमध्ये उपयुक्त असणारी सूत्रे व त्यांचा वापर करण्याच्या विविध पद्धती यांचा अंक गणितात विशेष उपयोग होतो. अंकगणितात वापरली जाणारी सूत्रे तर्क कठोरपद्धतीने सिध्द करण्यावर फारसा भर दिला जात नाही तर ती गृहीत धरून त्यांचा नित्य व्यवहारातील प्रश्न सोडविण्यासाठी कसा उपयोग करता येईल याकडे विशेष लक्ष दिले जाते. संख्यांच्या व्याख्या आणि त्यांचे गुणधर्म यांचा ⇨संख्या सिद्धांत या गणितीय शाखेत विचार करण्यात येतो व या दृष्टीने अंकगणित हे संख्या सिद्धांताचे प्राथमिक स्वरूप आहे असे म्हणण्यास हरकत नाही.

संच या संकल्पनेच्या आधारे धनपूर्णांक व यांची बेरीज म्हणजे काय हे सुलभतेने मांडता येते. १, २, ३, ४,... ही अंक चिन्हे सुपरिचित आहेत. त्यांच्या संचास ध म्हणतात. आता कोणत्याही दिलेल्या संचास किती घटक आहेत हे कसे मोजतात ते पाहू. समजा का या संचात  या चिन्हांनी निर्देशित असे घटक आहेत. म्हणजेच का = { } या संचातील कोणताही एक घटक घेऊन त्याच्याशी १ या अंकचिन्हाची जोडी लावली. नंतर दुसरा घटक घेऊन त्याच्याशी २ या अंकचिन्हाचा संबंध जोडला आणि राहिलेल्या घटकाशी ३ ची जोडी जमवली. अशा प्रकारे दिलेल्या का या संचाशी {१, २, ३} या ध च्या उपसंचाशी एकास-एक संबंध प्रस्थापित झाला. उपरोक्त उपसंचातील शेवटचे अंकचिन्ह ३ म्हणजेच का मधील घटकांची संख्या होय. हेच, का चा संचांक ३ आहे असेही मांडतात. याचप्रमाणे दुसऱ्या एखाद्या खा संचांक {१, २, ३..., १०, ११} या ध च्या उपसंचाचा एकास-एक संबंध जोडता येत असेल तर खा मध्ये ११ घटक आहेत किंवा खा चा संचांस ११ आहे असे म्हणता येईल. याच पद्धतीने कोणत्याही दिलेल्या संचासाठी संचांक (म्हणजे त्यात असलेल्या घटकांची संख्या) काढता येईल. यामध्ये संचातील वस्तू कोणत्या प्रकारच्या आहेत याला महत्त्व नाही हे सहजच लक्षात यावे [→ संच सिद्धांत].

आता दोन धन पूर्णांकांची बेरीज म्हणजे काय ते पाहू. समजा का आणि खा हे दोन वियुक्त संच आहेत (म्हणजेच या दोन संचांमध्ये कोणताही घटक समाईक नाही). या का आणि खा या दोन संचांचे सर्व घटक एकत्रित करून गा हा संच बनवला तर गा ला का आणि खा यांचा युतिसंच असे म्हणतात, व तो का U खा असा दर्शवतात. या युतिसंचातील घटकांच्या संख्येस (का U खा च्या संचांकांस) ग म्हटले, आणि का, खा चे संचांक अनुक्रमे क आणि ख आहेत असे मानले तर ग ही संख्या क आणि ख ची बेरीज आहे असे म्हणतात, आणि हेच ग = क + ख असे लिहितात.

धन पूर्णांकांच्या बेरीज या गणितकृत्यासाठी पुढील नियम मिळतात.

(१) धन पूर्णांकांची बेरीज करताना ती कोणत्याही क्रमाने केली तरी अंतिम उत्तरात त्यामुळे फरक पडत नाही. या नियमाला ‘क्रमनिरपेक्ष नियम’ म्हणतात. म्हणजेच क + ख = ख + क. उदा., ५ + ७ = ७ + ५.

(२) तीन धन पूर्णांकांची बेरीज करताना प्रथम पहिल्या दोन धन पूर्णांकांची बेरीज करून ती तिसऱ्यात मिळविली किंवा पहिल्या धन पूर्णांकांत राहिलेल्या दोन धन पूर्णांकांची बेरीज करून मिळविली तरी अंतिम बेरजेत फरक पडत नाही. या नियमाला ‘सहयोग नियम’ म्हणतात. म्हणजेच

क + (ख + ग) = (क + ख) + ग

उदा., ३ + (४ + ७) = (३ + ४) + ७

या नियमाचे अधिक धन पूर्णांकांकरिताही व्यापकीकरण करता येते.

क आणि ख या धन पूर्णांकांसाठी ग हा असा धन पूर्णांक अस्तित्वात असेल की, क = ख + ग आहे, तर ‘क गुरूत्तर ख,’ क > ख असे म्हणतात. हेच ‘ख लघुतर क,’ ख < क असेही म्हणतात. कोणत्याही क, ख या दोन धन पूर्णांकांसाठी क > ख, क = ख, क < ख या तीनपैकी एक (आणि एकच) सत्य असते. याला ‘त्रिभाजन गुणधर्म’ म्हणतात.

क + क + … + क (ख वेळा) या पुनरावृत्त बेरजेस ‘ख आणि क चा गुणाकार’, ख X क (ख गुणिले क) म्हणतात. ख X क हा गुणाकार ख. क किंवा खक असाही लिहितात. बेरजेप्रमाणे गुणाकार या गणितकृत्यासाठीही क्रमनिरपेक्ष नियम आणि सहयोग नियम मिळतात :

(१) कख = खक, क्रमनिरपेक्ष नियम

उदा., ३ X ८ = ८ X ३

(२) क (खग) = (कख) ग, सहयोग नियम.

उदा., ४ X (७ X ९) = (४ X ७) X ९

गुणाकाराकरिता आणखी तिसरा नियम म्हणजे दोन धन पूर्णांकांच्या बेरजेला तिसऱ्या धन पूर्णांकांने गुणावयाचे असल्यास बेरजेतील प्रत्येक धन पूर्णांकाला गुणून नंतर या गुणाकारांची बेरीज केल्यास चालते. यालाच ‘वितरण नियम’ म्हणतात.

(क + ख) ग = कग + खग

उदा., (५ + ७) X ३ = (५ X ३) + (७ X ३).

क X क X... X क (ख वेळा) असा पुनरावृत्त गुणाकार घेतल्यास तो क^ख असा लिहतात. क ला ‘पाया’ आणि ख ला ‘घातांक’ म्हणतात. ‘क^ख हे क घात ख’ किंवा ‘क उन्नीत ख’ असे वाचतात.

घातांकांसाठी पुढील नियम सिद्ध करता येतात : क, ख, प, फ हे धन पूर्णांक असल्यास

(१) क ^प X क ^फ = क ^प+फ,

(२) (क ^प)^फ = क ^{प फ},

(३) (क X ख)^प = क ^प X ख ^प,

बेरीज, गुणाकार व घात या गणितकृत्यांच्या उलट अनुक्रमे वजाबाकी, भागाकार आणि घातमूल ही गणितकृत्ये आहेत. दिलेल्या क आणि ख, (क > ख) या धन पूर्णांकांकरिता जर क = ख + क्ष असेल तर क्ष ला ‘क, ख ची वजाबाकी’ म्हणतात व ती क – ख (क वजा ख) अशी लिहतात.

फी हा रिक्त संच असेल तर त्याचा संचांक शून्य (०) आहे असे मानतात. कोणत्याही का या संचासाठी का U फी = का असे असल्याने क + ० = क असते. म्हणजेच क - क = ० असे मिळते.

समजा, क मधून ख, भ वेळा वजा केला तर वजाबाकी ग मिळते. हेच क = भ ख + ग असे लिहितात. जर ग < ख असेल तर यालाच क ला ख ने भागिले असता ‘भ हा भागाकार असून ग ही बाकी (शेष) आहे’ असे म्हणतात. ज्याप्रमाणे बेरजेच्या पुनरावृत्तीने गुणाकार मिळतो त्याचप्रमाणे वजाबाकीच्या पुनरावृत्तीने भागाकार मिळतो, हे वरील विवरणावरून लक्षात येईल.

जर क = ख. ग असेल तर क ला ख ने भागिले असता बाकी शून्य राहून भागाकार ग येईल हे वरील विवेचनावरून स्पष्ट आहे. हेच

क	= ग असे लिहितात. अर्थात	क	= ख	असेही लिहिता येईल हे उघड आहे.
ख		ग

क = ख. ग असेल तर ‘ख आणि ग हे क चे अवयव आहेत’ असे म्हणतात. हेच (ख। क), (ग । क) असे लिहितात. १ या अंकाला ‘अविकारक घटक’ म्हणतात. कोणत्याही क साठी क = १. क असल्याने १ हा क चा अवयव आहे किंवा (१ । क) आहे. जर ख > १, ग > १ आणि क = ख. ग असेल तर क ला ‘संयुक्त संख्या’ म्हणतात. १ आणि संयुक्त संख्या यांव्यतिरिक्त सर्व धन पूर्णांकांस ⇨अविभाज्य संख्या म्हणतात.

खाली दिलेले काही सामान्य नियम अवयव शोधताना वा भागाकार करताना उपयोगी पडतात:

(१) ज्या संख्येच्या शेवटी ०, २, ४, ६ किंवा ८ असा सम अंक असेल त्या संख्येस २ ने भाग जातो.

(२) ज्या संख्येच्या शेवटच्या दोन अंकांनी बनलेल्या संख्येस ४ ने भाग जातो त्या संख्येचा ४ हा अवयव असतो. त्याचप्रमाणे शेवटच्या तीन अंकांनी बनलेल्या संख्येस ८ ने भाग गेल्यास दिलेल्या संख्येस ८ ने भाग जातो.

(३) ज्या संख्यांमधील अंकांच्या बेरजेस ३ किंवा ९ ने भाग जातो त्या संख्यांना अनुक्रमे ३ किंवा ९ ने भाग जातो.

(४) दिलेल्या संख्येतील पहिल्या, तिसऱ्या, पाचव्या इ. अंकांची बेरीज जर दुसऱ्या, चौथ्या, सहाव्या इ. अंकांच्या बेरजेबरोबर असेल तर किंवा त्यांच्या वजाबाकीस ११ ने भाग जात असेल तर त्या संख्येस ११ ने भाग जातो.

अशा प्रकारचे आणखीही अनेक नियम अभ्यासाने बसविता येतात