प्रमेय

1. सिद्धता
2. संविधानाने सिद्धता
3. व्यत्यास

आदिसंज्ञा आणि स्वयंसिद्धके यांच्यापासून तार्किक पद्धतींनी निगमित केलेल्या विधानाला प्रमेय म्हणतात. गणितातील प्रमेयांचे स्वरूप बव्हंशी ‘प तर फ’ या प्रकारचे असते. तेथे प आणि फ ही विधाने आहेत. प ला गृहीत किंवा पक्ष आणि फ ला साध्य किंवा निष्कर्ष असे म्हणतात. ‘प तर फ’ या विधानाला सशर्त विधान असेही म्हणतात. प हे विधान फ ला पुरेशी शर्त आहे किंवा प या विधानाकरिता फ ही आवश्यक शर्त आहे, असेही याचे वर्णन करतात. प्रत्यक्षात प आणि फ ही विधाने अनेक विधानांपासून बनलेली असणे शक्य आहे.

सिद्धता

तार्किक पद्धतींनी प पासून फ प्रस्थापित करण्याचे अनेक प्रकार आहेत. त्यांतील अप्रत्यक्ष सिद्धतेचे प्रकार फार महत्त्वाचे आहेत. ‘प तर फ’ व ‘-फ तर -प’ ही दोन्ही विधाने तार्किक दृष्ट्या समानार्थी आहेत. (-प म्हणजे प च्या विरुद्ध विधान) म्हणून ‘प तर फ’ हे सिद्ध करण्याऐवजी ‘फ तर -प’ हे सिद्ध करतात. यालाच अप्रत्यक्ष सिद्धतेची पद्धती म्हणतात. उदा., Δ कखग मध्ये ∠ख > ∠ग तर गक > कख या प्रमेयाच्या ऐवजी गक ≯ कख तर ∠ ख ≯ ∠ ग असे सिद्ध करतात. ‘प तर फ’ दाखविण्याऐवजी प आणि -फ एकाच वेळी गृहीत धरल्यास विपरीत निष्कर्ष निघतात, असे दाखविले तरी चालते. हाही अप्रत्यक्ष सिद्धतेचाच एक प्रकार आहे. प्रकारशः सिद्धता : प या विधानाचे अनेक पर्याय असू शकतात. त्यांपैकी कोणत्याही पर्यायापासून फ हा निष्कर्ष काढून दाखविल्यास ‘प तर फ’ सिद्ध केले, असे मानता येईल. यालाच प्रकारशः सिद्धता असे म्हणतात.

संविधानाने सिद्धता

‘प तर फ’ हे संविधानांच्या एखाद्या साखळीवरूनही निष्कर्षित करता येते. म्हणजे ‘प तर ब१’, ‘ब१ तर ब२’, ‘ब२ तर ब३’, ...., ‘बस तर फ’ असे सिद्धतेत दाखवून त्यावरून ‘प तर फ’ हे दाखविले जाते. गणितीय विगमन : प (न), न कोणताही पूर्णांक, हे एक विधान आहे. (१) जर प (१) खरे असेल व (२) जर प (न) तर प (न+१) सिद्ध केले, तर प(न) न च्या सर्व पूर्णांक मूल्यांना खरे आहे. अशा तऱ्हेने प्रमेय सिद्ध करण्याच्या पद्धतीला गणितीय विगमन पद्धत म्हणतात.

व्यत्यास

‘प तर फ’ या विधानातील प आणि फ ची अदलाबदल करून ‘फ तर प’ हे विधान मिळते. याला मूळ प्रमेयाचा व्यत्यास म्हणतात. मूळ प्रमेय सत्य असले, तरी त्याचा व्यत्यास सत्य असेलच असे नाही. एखाद्या प्रमेयाबरोबरच त्याचा व्यत्यासही सत्य आहे की काय, हे पाहण्याचा प्रयत्न गणितज्ञ नेहमीच करीत असतात. तसे असल्यास प आणि फ ही विधाने तर्कदृष्ट्या तुल्य आहेत असे म्हणतात. उदा., Δ कखग मध्ये गक > कख आणि ∠ख > ∠ ग ही विधाने तुल्य आहेत. एकाच विधानाशी तुल्य असणारी विधाने शोधणे व तसे प्रस्थापित करणे हेही गणितशास्त्रात महत्त्वाचे आहे. जर प, फ, ब, भ, म इत्यादी विधाने तुल्य दाखवावयाची असतील, तर ‘प तर फ’, ‘फ तर ब’, ‘ब तर भ’, ‘भ तर म’ आणि ‘म तर प’ अशी साखळी प्रस्थापित करतात. वर ‘प तर फ’ अशा प्रकारची विधाने म्हणजे प्रमेय असे जरी आपण म्हटले असले, तरी अशा प्रकारच्या प्रत्येक विधानाला गणितज्ञांनी प्रमेयाचा दर्जा दिलेला नाही. अशा प्रकारची जी विधाने महत्त्वाची आणि पुढील विकासाच्या दृष्टीने उपयुक्त वाटली, त्यांनाच त्यांनी प्रमेय म्हटले आहे. इतरांना कधी पूर्वप्रमेय, कधी अनुप्रमेय किंवा उपसिद्धांत अशी नावे दिली आहेत. मुख्य प्रमेय सिद्ध करण्यास ज्याचे साह्य होते त्याला पूर्वप्रमेय आणि मुख्य प्रमेयावरून जे सहजगत्या प्रस्थापित होते त्याला अनुप्रमेय असे म्हणतात. जोपर्यंत एखादे प्रमेय एखाद्या शुद्ध आकारिक प्रणालीचा (उदा., यूक्लिडीय भूमिती) भाग असते तोपावेतो त्या प्रमेयाच्या ‘सत्यते’संबंधी बोलणे निरर्थक असून त्याच्या ‘बरोबरपणा’बद्दल बोलणेच योग्य ठरेल. प्रमेय अथवा त्याचा निष्कर्ष प्रत्यक्ष निरीक्षण करता येणाऱ्या वस्तुस्थितीशी जुळणारा असेल, तरच ते प्रमेय सत्य असते.