गणिताचा तात्त्विक पाया

1. गणिताचा तात्त्विक पाया
2. गणितासंबंधी तात्त्विक मूलभूत प्रश्न
3. तर्कशास्त्रमीमांसा
4. आकारवाद
5. अंत:प्रज्ञावाद

गणिताचा तात्त्विक पाया

गणिताच्या तात्त्विक पायासंबंधीच्या विवेचनांत गणितांतील मूलभूत संकल्पना व त्यांच्या संबंधीची प्रचलित गृहीतत्त्वे व स्वयंसिद्धके (स्वतः सिद्ध असलेली व सामान्यतः ग्राह्य मानण्यात येणारी तत्त्वे) यांसंबंधी तात्त्विक आणि ज्ञानविषयक चर्चा यांचा अंतर्भाव होतो. विशेषतः सन १९०० पासून गणितपद्धतीसंबंधी अस्तित्वविषयक आणि सिद्धांत–उपपत्तिविषयक मूलभूत प्रश्नांची चिकित्साही या विषयात होत असून आधुनिक गणित सिद्धांत-तत्त्वज्ञान प्रगत झाले आहे.

मूलभूत तत्त्वे व गृहीतके : प्रत्येक प्रगत शास्त्राच्या पायाशी काही मूलभूत संकल्पना व विधाने असतात. त्या संकल्पनांची त्यांच्यापेक्षा सोप्या कल्पनांच्या साहाय्याने व्याख्या करता येत नाही व विधानांची इतर अधिक सोप्या विधानांच्या साहाय्याने उपपत्तीही लावता येत नाही. या मूलभूत संकल्पनांना ह्या शास्त्रपद्धतींतील अव्याख्यात (व्याख्या दिलेल्या नाहीत अशा) आणि प्राथमिक कल्पना म्हणतात व मूलभूत विधानांना गृहीततत्त्वे किंवा स्वयंसिद्धके म्हणतात. त्यातील सत्य तात्पुरते गृहीत धरून किंवा ते स्वयंसिद्ध मानून त्या शास्त्रातील इतर विधाने निगमन-पद्धतीनुसार निर्माण केली जातात. या अनुसाधित विधानांना प्रमेये म्हणतात. प्राथमिक अव्याख्यात कल्पनांच्या साहाय्याने बनविलेल्या कल्पनांना व्युत्पन्न कल्पना म्हणतात.

एकोणिसाव्या शतकाच्या प्रारंभापर्यंत गृहीततत्त्वे आणि स्वयंसिद्धके यांमध्ये गणितज्ञ फरक करीत असत. त्यांच्या मते स्वयंसिद्धक म्हणजे सिद्धतेची किंवा पुराव्याची गरज नसलेली स्वप्रत्यक्ष विधाने होत. उदा., प्लेफेअर यांचे समांतर रेषांसंबंधी असलेले स्वंयसिद्ध (प्रत्यक्ष प्रमाण) विधान. उलटपक्षी गृहीततत्त्वांतील सत्य हे तात्पुरते मानलेले असून शास्त्राच्या विवरणाच्या ओघात किंवा ते प्रत्यक्ष अनुभवाशी पडताळून पाहिल्यावर त्यांत बदल होण्याचा किंवा ते त्याज्य ठरण्याचा संभव असतो. परंतु लोबाचेव्हस्की, बोल्यॉई व रीमान यांनी निर्माण केलेल्या अयूक्लिडीय भूमितींवरून असे आढळून आले की, स्वयंसिद्धके व गृहीततत्त्वे यांमध्ये मूलतः गुणात्मक असा काहीच फरक नाही. म्हणून आधुनिक गणितज्ञ दोन्ही अर्थांकरिता गृहीततत्त्व हाच समानार्थी शब्द वापरतात; त्यामुळे पारंपारिक स्वयंसिद्धत्वतेच्या गैरसोयीच्या कल्पनेला मुळीच वाव राहत नाही. प्राथमिक कल्पना दर्शविणाऱ्या विचार-वस्तूंचे अस्तित्व गुणधर्म, उपयोग व अन्योन्य संबंध हे सर्व गृहीततत्त्वात अंतर्भूत असतात इतकेच नव्हे, तर याच मर्यादित अर्थाने गृहीततत्त्वे म्हणजे प्राथमिक कल्पनांच्या अप्रत्यक्ष व्याख्याच होत. गृहीततत्त्वांमध्ये मूळ कल्पनांना विशिष्ट अर्थ किंवा अभिप्राय देण्याचा हेतू नसतो. एकंदर शास्त्र सिद्धांताचा अनुप्रयोग केल्यानंतर त्यांना विवक्षित अर्थ प्राप्त होतो. गृहीततत्त्वांचे कार्य एवढेच की शास्त्र सिद्धांताची अंतर्गत रचना व त्यांत प्राथमिक कल्पनांचा वापर यांचे नियम स्पष्टपणे मांडणे. गृहीततत्त्वांची निवड जरी संपूर्णतः आपल्या इच्छेवर अवलंबून असली, तर ती तार्किक सोपेपणा व सिद्धांताची रचना करताना त्यांचा उपयोग कसा करावयाचा याची पूर्वयोजना करून आपण ठरवितो.

सारांश, कोणत्याही शास्त्राच्या मूलतत्त्वांचा अभ्यास म्हणजे (१) त्या शास्त्राच्या प्राथमिक कल्पना व गृहीततत्त्वे निश्चित करणे, (२) त्यांच्यात असलेल्या उणीवा आणि अंतर्विरोध शोधून काढणे, (३) सुसंगतता व संपूर्णता यांच्या निकषावर तपासून घेऊन त्यांना स्पष्ट स्वरूप देणे व अशा रीतीने (४) गृहीततत्त्वांत अनुस्यूत असलेली शास्त्राची अंतर्गत रचना संगतवार मांडणे आणि (५) आशय व अंतर्गत रचना यांच्या दृष्टींनी त्याचे इतर शास्त्रांशी संबंध स्पष्ट करणे.

गणितासंबंधी तात्त्विक मूलभूत प्रश्न

गणिताच्या मूलतत्त्वांचा अभ्यास करताना खालील प्रश्नांचा विचार करावा लागतो.

(१) गणिताचे तात्त्विक स्वरूप काय? (अ) गणित ही तर्कशास्त्राची शाखा आहे काय? (आ) गणित ही कोणतेही विशिष्ट अर्थ नसलेल्या चिन्हांवर प्रक्रिया करणारी एक शुद्धाकारी गणनपद्धती आहे काय? (इ) रचनाशीलतेसंबंधीच्या मर्यादा काटेकोरपणे पाळून काही अंतःप्रज्ञासमूहांचा केलेला तार्किक आविष्कार म्हणजेच गणित काय?

(२) गणितीय अनंत आणि संततत्त्व यांचे यथार्थ स्वरूप काय?

(३) गणितीय अस्तित्त्व म्हणजे काय?

(४) गणितीय सत्य कशास म्हणावयाचे? विरूद्ध विधान खोटे असणे म्हणजेच मूळ विधान सत्य मानावयाचे काय? म्हणजे तर्कशास्त्रातील विमध्य सिद्धांत गणितात सर्वच अनंतप्रणालींबाबतीत लागू करता येईल काय?

(५) गणितशास्त्र अंतर्गत विरोध किंवा अपूर्णता यापासून मुक्त आहे काय? म्हणजेच गृहीततत्त्वावरून एखादा सिद्धांत आणि त्याचा प्रतिसिद्धांत हे दोन्ही एकदम सिद्ध होऊ शकतात काय? आणि प्रत्येक सत्य सिद्धांत या गृहीततत्त्वांपासून निरपवादपणे सिद्ध होतो काय?

या सर्व प्रश्नांची गणितातील मुख्यतः तीन विचारसंप्रदायांनी निरनिराळी उत्तरे दिली आहेत. हे संप्रदाय म्हणजे (१) बर्ट्रंड रसेल प्रणीत तर्कशास्त्रमीमांसा, (२) डाव्हीट हिल्बर्ट प्रणीत आकारवाद आणि (३) ब्रौवर प्रणीत अंतःप्रज्ञावाद. प्रथमतः या तीन संप्रदायांचे तत्त्वविवेचन देऊन नंतर त्यांच्यातील वैचारिक संघर्षांतून निर्माण झालेल्या अत्याधुनिक गणित सिद्धांत तत्त्वज्ञान, परिमित रचनाशील जनक पद्धती, व्याख्येयता व निर्णयशीलता यांचा विचार क्रमशः करू.

तर्कशास्त्रमीमांसा

या विचारसरणीतील प्रमुख सिद्धांत असा की, ‘अनुगामी’ सारख्या काही प्राथमिक कल्पना आणि त्यांच्या उपयोगासाठी काही गृहीततत्त्वे यांचाच केवळ उपयोग करून संपूर्ण गणिताची तर्कशास्त्रीय–म्हणजे तर्कशास्त्राची एक शाखा म्हणून मांडणी करता येते. या विचारसरणीचा आरंभ लायप्निट्स यांनी केला असे म्हणता येईल, कारण त्यांनी केलेल्या प्रतीक चिन्हशास्त्राच्या अभ्यासातूनच तर्कशास्त्रीय बीजगणित निर्माण झाले. त्यानंतर डे मॉर्गन, वूल, श्रोडर आणि पर्स यांनी त्याकरिता आवश्यक तंत्राचा विकास करून ⇨चिन्हांकित तर्कशास्त्राची निर्मिती केली. यापूर्वी तर्कशास्त्रात केवळ उद्देश्य–विधेय स्वरूपाच्या विधानांचाच उपयोग होत असे.

आधुनिक चिन्हांकित तर्कशास्त्राच्या निर्मितीनंतर गणिताच्या अंकगणितीकरणाचे म्हणजे संपूर्ण गणितशास्त्र पूर्ण संख्यांच्या गुणधर्मांवर आधारलेले आहे हे सिद्ध करण्याचे प्रयत्न सुरू झाले. व्हायरश्ट्रास यांनी असे दाखवून दिले की, वैश्लेषिक गणिताचे सर्व सिद्धांत सत् संख्यांच्या [→ संख्या] गुणधर्मांत अंतर्भूत आहेत; डेडेकिंट यांनी सत् संख्यांची व्याख्या केवळ परिमेय संख्यांच्या भाषेत करता येते असे सिद्ध केले. परिमेय संख्यांची व्याख्या केवळ पूर्ण संख्यांच्या साहाय्याने देणे सोपे आहे आणि तशी व्याख्या अगोदरच उपलब्ध होती (दोन संख्यांचे गुणोत्तर म्हणून किंवा अनुक्रमित संख्यांची जोडी म्हणून); म्हणून डेडेकिंट यांच्या सत् संख्या उपपत्तीमुळे शुद्धगणिताचे अंकगणितीकरण पूर्ण झाले असे म्हणता येईल. आता सर्व अंकगणित केवळ तर्कशास्त्रावर आधारित आहे एवढेच दाखवावयाचे शिल्लक राहिले होते. हे कार्य फ्रेग, पेआनो, व्हाइटहेड व रसेल यांनी सिद्धीस नेले. फ्रेग व पेआनो यांनी अंकगणित तर्कशास्त्राच्या मूळ परिभाषेत मांडून दाखविले व त्यांच्याच तार्किक उपपत्तीवर सर्व गणित आधारलेले आहे हे प्रस्थापित करण्याचा प्रचंड खटाटोप बर्ट्रंड रसेल यांनी केला. या कार्यांचा प्रारंभ १९०३ मध्ये प्रिन्सिपल्स ऑफ मॅथेमॅटिक्स या ग्रंथाच्या प्रकाशनाने झाला व त्याची परिणती व्हाइटहेड यांच्या सहकार्याने १९१३ मध्ये पूर्ण केलेल्या प्रिन्सिपिया मॅथेमॅटिका या चिरस्मरणीय त्रि-खंडात्मक ग्रंथाने झाली. या ग्रंथाचा मूळ उद्देश म्हणजे, गणितातील सर्व पायाभूत विधाने तर्कशास्त्रातील काही गृहीततत्त्वे व काही अव्याख्यात तर्क कल्पना यांपासून निष्पन्न करून दाखविणे आणि अशा रीतीने गणितशास्त्र म्हणजे तर्कशास्त्राचेच विकसित स्वरूप होय हे दाखविणे, असा होता. त्यानंतर तर्कमीमांसावाद्यांचे कार्य या ग्रंथांतील प्रमुख प्रतिपादनांत महत्त्वाचा बदल न करिता त्यांतील दोषस्थळांची निवृत्ती करणे अशाच स्वरूपाचे राहिले आहे. ‘प्रिन्सिपाया’ ची विचारपद्धती समजण्याकरिता प्रथम पेआनो प्रणीत अंकगणितातील प्राथमिक कल्पना व गृहीततत्त्वे मांडून दाखविणे आवश्यक आहे.

(१) शून्य, संख्या आणि अनुगामी या तीन प्राथमिक कल्पना.

(२) गृहीततत्त्वे पाच आहेत ती अशी : ग_१ : शून्य ही संख्या आहे. ग_२ : कोणत्याही संख्येचा अनुगामी संख्याच असते. ग_३ : दोन भिन्न संख्यांचे अनुगामी भिन्न संख्या असतात. ग_४ : शून्य ही संख्या कोणत्याही संख्येचा अनुगामी नसते. ग_५ : र हा गुणधर्म जर असा असेल की, (अ) शून्याला र हा गुणधर्म लागू आहे आणि (आ) न या संख्येला र हा गुणधर्म लागू असल्यास तो न च्या अनुगामीलाही लागू असेल, तर र हा गुणधर्म सर्व संख्यांना लागू असला पाहिजे. यालाच गणितीय विगमन तत्त्व म्हणतात.

बेरीज आणि गुणाकार यांच्या योग्य व्याख्या करून आणि वर उल्लेखिलेल्या तीन प्राथमिक कल्पनांचा उपयोग करून सर्व अंकगणित आणि त्यावरून बीजगणित किंबहुना सर्व वैश्लेषिक गणित वरील गृहीततत्त्वांवरून काढता येते. यानंतरची पुढची पायरी म्हणजे या तीन प्राथमिक कल्पनांची केवळ तर्कशास्त्राच्या परिभाषेत व्याख्या देणे. हे कार्य खालील आठ तर्कसंज्ञांचा उपयोग करून येते (१) ‘नाही’; (२) ‘आणि’; (३) ‘जर......तर’; (४) ‘संच’;(५) ‘क्ष हा स संचाचा घटक’; (६) ‘अशा सर्व क्ष वस्तूंचा संच की,.....’; (७) ‘अशी किमान एक क्ष वस्तू अस्तित्त्वात आहे की,.....’; (८) ‘प्रत्येक क्ष वस्तू अशी आहे की, ...’; यांतील शेवटच्या चार संज्ञा अनुक्रमे: (५) ‘क्ष ε स’; (६) ‘{क्ष/....}’; (७) ‘(अ क्ष) (......)’ आणि (८) '(एक्ष) (......)' या; चिन्हांनी दर्शविल्या जातात. (७) आणि (८) या चिन्हांना अनुक्रमे अस्तित्त्वदर्शकगणक आणि विश्वदर्शकगणक म्हणता येईल.

यांपैकी क्रमांक (१) ते (३) या [हेही नाही] आणि [तेही नाही] या एकाच संज्ञेत दर्शविता येतात आणि (७) वी संज्ञाही वरील संज्ञा व (८) वी संज्ञा यांच्या संयुक्त उपयोगाने दर्शविता येते. सारांश, गणितातील सर्व कल्पना शुद्धतर्कशास्त्रातील पाच मूलभूत कल्पनांवर आधारित आहेत आणि म्हणून गणिताची सुसंगतता तर्कशास्त्राच्या सुसंगततेवर अवलंबून आहे असे सिद्ध होते.

गणिताच्या अभ्यासास आवश्यक असलेल्या तर्कशास्त्रीय कल्पनांमध्ये संच कल्पनेचा समावेश होतो हे आपण वर पाहिले; आता जोपर्यंत आपण परिमित संच विचारात घेतो तोपर्यंत कोणतीही तार्किक अडचण उद्‌भवत नाही. परंतु अगदी सामान्य अंकगणिताचा विचार करतानासुद्धा अनंत संचावाचून भागत नाही; परंतु अनंत संच उपपत्तीतून अंतर्गत विरोध निर्माण होतात. त्याचे कारण म्हणजे अनंत संचातील वस्तू १, २, ३,... अशा संपूर्णपणे मोजता येत नाहीत, तर अनंतत्वाची कल्पना अंतर्भूत धरून अशा संचाची व्याख्या द्यावी लागते. ही व्याख्या अशा अनंत संचातील वस्तूंच्या समान गुणधर्मावरून देतात व त्यामुळे तीत अशा सर्व वस्तूंचे अस्तित्त्व आणि वैयक्तिक निश्चिती यांचा समावेश नसतो. त्यामुळे अनंत संचाच्या अशा व्याख्यांमधून अंतर्विरोधी व अर्थशून्य कल्पनांच्या भ्रामक अस्तित्त्वाचा आभास निर्माण होतो. हे उदाहरण दाखविण्याकरिता रसेल यांच्या नावे प्रसिद्ध असलेला विरोधाभास घेऊ.

जो संच स्वतःचा घटक नसतो त्याला आपण सामान्य संच म्हणू. उदा., ‘सर्व गणितज्ञांचा संच’ हा सामान्य संच होय कारण संच हा गणितज्ञ नसतो. उलटपक्षी ‘ज्यांच्याविषयी विचार करता येईल’ अशा सर्व वस्तूंचा संच हा असामान्य संच ठरेल. कारण त्याच्या संबंधीही विचार करता येतो. आता ‘सर्वसामान्य संचांचा संच’ घेऊ आणि त्याला न ही संज्ञा देऊया. आता प्रश्न असा की न हा संच सामान्य की असामान्य. तो दोन्हींपैकी एक असलाच पाहिजे, हे उघड आहे. आता न हा सामान्य मानला तर ज्या अर्थी प्रत्येक सामान्य संच न चा घटक आहे, त्या अर्थी न हा स्वतःचा घटक असला पाहिजे म्हणजे तो व्याख्येप्रमाणे सामान्य असू शकत नाही. म्हणजे न हा संच ‘सामान्य’ मानला तर ‘असामान्य’ आहे असे सिद्ध होते; उलटपक्षी न हा ‘असामान्य संच’ मानू.मग ज्या अर्थी सर्व असामान्य संचांना नमध्ये मज्‍जाव आहे त्या अर्थी न हा स्वतःचा घटक होऊ शकत नाही आणि म्हणून सामान्य संचाच्या व्याख्येनुसार नहा सामान्य संच ठरतो. म्हणजे दोन्ही पक्षी न हा सामान्य आणि असामान्य संच ठरतो आणि हा ‘विरोधाभास’ होय व त्याचा सामान्य अंतर्गत विचारांनी निरास करणे अशक्य आहे. त्याकरिता रसेल यांनी संचांच्या कोटीची कल्पना मांडली. संचातील वैयक्तिक घटक वस्तूंची कोटी शून्य, त्या वस्तूंच्या संचाची कोटी एक, एक कोटी संचांच्या कोटी दोन ...म्हणजे न कोटिक संच घटक असलेल्या संचाची कोटी न + १. रसेल यांचे प्रतिपादन असे की, एका विशिष्ट कोटिक संचाला लागू असलेले विधान भिन्न कोटिक संचाला लागू करता येईलच असे नाही. निरनिराळ्या संचांची भिन्न कोटिकता लक्षात न घेतल्याने विरोधाभास निर्माण होण्याचा संभव असतो. आपण वर घेतलेल्या उदाहरणात हीच चूक केल्यामुळे विरोधाभास निर्माण झाला कारण संचांचा संच मूळ संचापेक्षा अधिक एक कोटीचा असल्यामुळे घटक संचास लागू असलेला गुणधर्म न या संचास लागू होत नाही व त्यामुळे न हा ‘सामान्य’ की ‘असामान्य’ हाप्रश्नच अप्रस्तुत ठरतो.

संचांच्या कोटी कल्पनेप्रमाणे रसेल यांनी तर्कवाक्य फलनाच्या अभ्यासाला जात्युपलक्षणमीमांसा योजिली. परंतु ही मीमांसा सत् संख्या व त्यांचे संततत्व यांना लागू करताना अडचणी निर्माण होऊ लागल्या. त्यांतून मार्ग काढण्याकरिता रसेल यांनी दोन स्वयंसिद्धके प्रतिपादिली (१) संक्षेपक्षमतेचे स्वयंसिद्धक व (२) अनंतत्वाचे स्वयंसिद्धक. पहिल्या स्वयंसिद्धकाप्रमाणे कोणत्याही उच्चतर प्रतीच्या तर्कवाक्याला तुल्यरूप प्रथम कोटीचे तर्कवाक्य असते. याचा अर्थ असा की या दोन वाक्यांत अर्थभिन्नता असली तरी त्यांची तर्क-सत्यसारणी एकच असते. अनंतत्वाचे स्वयंसिद्धक म्हणजे तर्कवाक्ये अनंत आहेत हे गृहीततत्व. या दोन्ही स्वयंसिद्धकांतील मुख्य अडचण म्हणजे तर्कवाक्यरचनेचे नियम न देता, तर्कवाक्यांचे अस्तित्त्व गृहीत धरावे लागते ही होय; कारण ‘प्रिन्सिपिया’च्या कक्षेत विचार केला तरी रचनाशील अनंत वाक्ये अंकनीय असावी लागतात आणि पहिल्या प्रतीची तर्कवाक्य फलने–म्हणजे विधेयदर्शी वाक्ये–यांची संख्या कोटी जर C (म्हणजे सत् संख्यांची वा संतत रेषेवरील बिंदुंची संख्या कोटी ) असली तरच संक्षेपक्षमता स्वयंसिद्धकाचा काही उपयोग होऊ शकतो. सारांश तर्कशास्त्रीय मीमांसेमुळे बहुतेक मूलगामी प्रश्न सुटले असले, तरी गणितातील अनंत व संततत्वासंबंधीच्या कूटप्रश्नाचे समाधानकारक उत्तर मिळत नाही; त्यामुळे गणित ही तर्कशास्त्राची शाखा ही तर्कशास्त्रज्ञांची कल्पना केवळ कल्पानाच ठरते. याबाबतीत ‘गणित हे तर्कशास्त्रावर आधारले नसून तर्कशास्त्रज्ञांच्या कोणत्याही ओढून ताणून आणलेल्या काल्पनिक (तार्किक) विश्वावर अवलंबून आहे असे दिसते’, ही हेर्‌मान वाइल यांची मर्मभेदक टीका उल्लेखनीय आहे. याच असमाधानाच्या पोटी आकारवाद व अंत:प्रज्ञावाद यांचा उद‍य झाला.

आकारवाद

आकारवादी व तर्कशास्त्रवादी यांमध्ये महत्त्वाचा फरक म्हणजे आकारवादी गणितामध्ये ‘आशया’पेक्षा, ‘रचने’ला अधिक महत्त्व देतात. यात गणित चिन्हे विशिष्ट अर्थवाचक न मानता फक्त कागदावरील सांकेतिक खुणा म्हणून मानण्यात येतात. चिन्हांचा उपयोग कसा करावयाचा व गृहीततत्त्वांपासून वैध प्रमेये कशी व्युत्पन्न होतात यांचे नियम गृहीततत्त्वांतच अंतर्भूत असतात. या गणितशास्त्र पद्धतीमध्ये संरचनादर्शक म्हणूनच सिद्धांतांना अर्थ असतो. संकेतचिन्हांचा अर्थ भाषा पद्धतीने विशिष्ट विषयांतील परिभाषेमध्ये अर्थ लावल्यानंतरच प्रमेयांना विवक्षित अर्थ प्राप्त होतो. या विचारसरणीचे अध्वर्यू डाव्हीट हिल्बर्ट यांनी यूक्लिडीय भूमितीला गृहीत नियमबद्ध स्वरूप दिले आहे. त्यांच्या भूमितीत ‘बिंदु’, ‘रेषा’, ‘प्रतल’या संज्ञांना गृहीततत्त्वांतर्गत व्याख्या म्हणूनच अर्थ असतो. यूक्लिडीय, अयूक्लिडीय किंवा व्यावहारिक भूमितिकल्पना म्हणून त्यांच्याकडे बघावयाचे नसते. भूमितिशास्त्राची इमारत ही एक अमूर्त प्रतिकृती किंवा सांगाडा असून भाषार्थ पद्धतीने त्याच्यात विशिष्ट आशय भरल्यानंतर त्यापासून इष्ट ती यूक्लिडीय वा अयूक्लिडीय भूमिती निर्माण होते. या विचारपद्धतीमुळे विशिष्ट सिद्धांतप्रणालींची रचनात्मक गुंतागुंत सोडविणे सोपे जाते; कारण यात शब्दांच्या नेहमीच्या अर्थांमुळे उद्‌भवणारे गैरसमज होण्याची शक्यता नसते. त्याचप्रमाणे विशिष्ट गृहीततत्त्व समुच्चय हा स्वयंपूर्ण आहे की नाही म्हणजेच सध्या माहीत असलेले व पुढे माहीत होऊ शकणारी सत्य विधाने प्रस्थापित करण्यास समर्थ ठरेल इतका तो व्यापक आहे की नाही, हे ठरविणे सोपे जाते. उदा., प्राथमिक भूमितीचे आकारीकरण करताना हिल्बर्ट यांना असे आढळून आले की, यूक्लिड यांनी दिलेल्यापेक्षा अधिक गृहीततत्त्वांची आवश्यकता आहे. या पद्धतीचा दुसरा फायदा असा की, आकारात्मक विचारसरणीमुळे निरनिराळ्या उपपत्तीमधील रचनात्मक साम्यस्थळे स्पष्ट होतात आणि गणितातील सुसंगतेचा प्रश्न सोडविणे सोपे जाते. गृहीततत्वानुसारी सिद्धांत प्रणालीची सुसंगता प्रस्थापित करणे म्हणजे तिच्यातून परस्परविरूद्ध प्रमेये काढता येत नाहीत असे सिद्ध करणे. हे करण्याचा सर्वांत सोपा मार्ग म्हणजे असा सांगाडा निर्माण करावयाचा की, ज्यात आपली गृहीततत्त्वे सत्य विधाने ठरतील; परंतु ही रीत परिणामकारक ठरण्याकरिता सांगाड्यातील घटकतत्वांची संख्या परिमित असावयास हवी. आता अनंत वस्तूंचे आकलन परिमित गणन पद्धतीने अशक्य आहे; त्यामुळे गृहीततत्त्वांचे सत्यत्व व म्हणून त्यांची सुसंगतता अशा बाबतीत अनिर्णित राहते. परंतु आपल्याला थोड्याशाही महत्त्वाच्या वाटणाऱ्या बहुतेक गणितप्रणाली अनंत घटक असलेल्या प्रतिकृतीनेच दर्शविता येतात. भूमितीच्या बाबतीत या अडचणीतून मार्ग काढण्याकरिता हिल्बर्ट यांनी भूमितीय चिन्हे व गृहिततत्त्वे बीजगणितीय रूपात मांडली. हे भूमिती आणि बीजगणित यांतील रचना सादृश्यामुळे शक्य झाले; म्हणजे बीजगणित सुसंगत असेल तर भूमितीही सुसंगत असली पाहिजे असे ठरते. परंतु बीजगणिताची सुसंगतता अंकगणितावर अवलंबून आहे. अंकगणिताची गृहिततत्त्वात्मक रचना पेआनो यांनी अगोदरच केली असल्यामुळे भूमितीची सुसंगतता ही शेवटी पेआनो प्रणीत गृहीततत्त्वांच्या सुसंगतेवर आधारित आहे हे उघड झाले. ह्या गृहीततत्त्वांची सुसंगता अनंत या कल्पनेतील अंतविरोध टाळून सिद्ध करावयाची असेल, तर ती परिमितशील पद्धतीनेच करावी लागेल; कारण अनंतातील अंतर्विरोध हाच तर्कमीमांसावाद्यांच्या अपयशाच्या मुळाशी होता. अशा प्रकारच्या सिद्धतेत वापरावयाच्या सूत्रांच्या रचनात्मक गुणधर्मांची संख्या किंवा त्यांवर करावयाच्या प्रक्रियांची संख्या या दोन्ही परिमितच असल्या पाहिजेत. यालाच हिल्बर्ट यांची ‘सिद्धांत तत्त्व उपपत्ती’ म्हणतात. याकरिता त्यांनी परिमित अनुगामित्वशील जनक फलन पद्धती अवलंबिली. अशा प्रकारची सिद्धता मिळाली असती, तर ती अंकगणिताच्या सुसंगततेची विशुद्ध सिद्धता मानता आली असती.

परंतु असे घडावयाचे नव्हते; कारण कुर्ट गोडेल यांनी १९३१ मध्ये प्रस्थापित केलेल्या दोन प्रमेयांमुळे, हा प्रश्न कायमचा निकालात निघाला. गोडेल यांच्या पहिल्या प्रमेयानुसार अंकगणिताची सुसंगतता सिद्ध करण्याकरिता प्रतिस्थापन व विभक्तीकरण या नेहमीच्या नियमांपेक्षा अधिक प्रभावी नियम आवश्यक आहेत. म्हणजेच हे नवीन नियम गृहीत धरल्याशिवाय अंकगणिताची सुसंगता प्रस्थापित करणे अशक्य होय. हे नवीन नियम गृहीत धरून त्यांना पेआनो गृहीततत्त्वे आणि वर उल्लेखिलेले दोन नियम यांच्या पंक्तीला बसविले तरीही प्रश्न सुटत नाही. कारण गोडेल यांच्या दुसऱ्या प्रमेयाप्रमाणे मूलच्या गृहीततत्त्वांत नवीन गृहीततत्त्वांची कितीही व कशीही भर टाकली आणि परिणामस्वरूप गृहीततत्त्व समुच्चय सुसंगत असला तरी तो तत्त्वत: अपूर्णच राहील, म्हणजे अशा प्रकारच्या कोणत्याही गृहीततत्त्वांवर आधारलेल्या अंकगणितात अशी सत्य विधाने असलीच पाहिजे. की, जी त्या गृहीततत्त्वांवरून निष्पन्न करता येत नाहीत. यालाच गोडेल यांचे ‘अपूर्णता प्रमेय’ म्हणतात.

गोडेल यांच्या वरील क्रांतिकारक शोधामुळे आकारवाद्यांचा प्रधान हेतू मुळातच असाध्य ठरला असला, तरी आणखी एका गौण परंतु उल्लेखनीय दृष्टीने आकारवादी उपपत्ती टीकास्पद ठरते. गणितीय विचारांची उत्पत्ती, त्यांचे वैशिष्ट्य, गणितीय चिन्हांचे मर्यादित महत्त्व आणि विशिष्ट गृहीततत्त्वांची निवड करण्यामागील आपली भूमिका यांबाबतीत आकारवाद्यांना स्वारस्य नसते. त्यांचे लक्ष फक्त आशयरहित सांगाड्याकडे असते. हा दृष्टिकोन गणितीय मनाला रूचणारा नाही आणि मुख्य हेतू निष्फळ झाल्यामुळे तर हा दोष अधिकच ठळक ठरतो. मात्र हिल्बर्ट हे अत्यंत प्रतिभाशाली, क्रियाशील व संशोधक गणितज्ञ असल्याने तर्कवाद्यांच्यापेक्षा गणितमनाला ते अधिक जवळचे वाटावे हे साहजिकच होते.

अंत:प्रज्ञावाद

तर्कमीमांसावादी व आकारवादी यांच्या उलटपक्षी अंत:प्रज्ञावादी गणितीय सत्ये वस्तुनिष्ठ व चिरंतन आहेत असे मानीत नाहीत. त्यांच्या मते गणितीय सत्ये मानवी मनाची स्वैर निर्मिती असून मानवनिर्मित इतर सत्यांप्रमाणेच विकारशील आहेत. या संप्रदायाचे आद्यप्रवर्तक ब्रौवर (१९१२) यांच्या प्रतिपादनानुसार गणित विचाराचे उत्पत्तिस्थान काही मूलस्थ अंत:प्रेरणांमध्ये असून त्यामुळेच आपल्या इंद्रिय संवेदना ‘आधी’ व ‘नंतर’ अशा दोन वर्गात विभागल्या जातात. ब्रौवर यांना इमॅन्युएल कांट यांची अवकाशविषयक स्वयंभू प्राक्सत्यत्व उपपत्ती मान्य नाही. परंतु ‘कालतत्त्व’ ही शुद्ध, अनुभवनिरपेक्ष अंत:प्रेरणा आहे असे ते कांटप्रमाणे मानतात आणि वरीलप्रमाणे तिचे ‘आधी’ व ‘नंतर’ असे द्विभागीकरण प्रतिपादून तिला एक–दोनतेच्या साहाय्याने सूक्ष्मतर स्वरूप देतात. हिचे पुन्हा दोन भाग करता येतात व असेच पुढे जात जात (अंकनीय) पूर्ण संख्यांची अनंत श्रेढी निर्माण करता येते. यामुळे गणितीय सत्ये अनुभवनिरपेक्ष संश्लिष्ट स्वरूपाची ठरतात आणि म्हणूनच ती अनिवार्य वाटतात. या विचारसरणीचे दुसरे महत्त्वाचे वैशिष्ट्य असे की, तर्कशास्त्रातील ‘विमध्य सिद्धांत’ हे निरपवाद सत्य आहे असे अंत:प्रज्ञावादी मानीत नाहीत. ब्रौवर यांच्या म्हणण्याप्रमाणे तर्कशास्त्राचे तथा कथित नियम हे प्रगत गणित व विज्ञान यांच्या आधीच्या काळात, परिमित वस्तु कल्पनांच्या विश्लेषणासाठी उद‌यास आलेल्या भाषेचेच नियम आहेत. या नियमांचे बंधन मानण्याचे गणितीय कल्पनांना कारण नाही. त्यामुळे अंत:प्रज्ञावाद्यांना तर्कशास्त्रमीमांसा व आकारवाद या दोन्हीपैकी कोणतीही उपपत्ती मान्य नाही–पहिली उपपत्ती गणिताचे तार्किकीकरण करते म्हणून आणि दुसरी भाषा व संकेतचिन्हे यांना त्यांच्या मर्यादा लक्षात न घेता अवास्तव महत्त्व देते म्हणून.

अनंताच्या प्रश्नाकडेही अंत:प्रज्ञावादी याच द्यष्टिकोनातून बघतात. त्यांच्या मते गणितीय वस्तूंचे अस्तित्त्व आणि ‘एक–दोन’ अशा मूलस्थ अंत:प्रेरणेच्या आधारावर त्यांची रचना करणे शक्य असणे या समानार्थी कल्पना होत. म्हणून अनंतचा उपयोग करणारी विधाने एकतर पूर्णसंख्यांसारख्या अंकनीय अनंत वस्तूंवर अवलंबून असली पाहिजेत; किंवा त्यांच्या पडताळ परिमित पायऱ्यांनी घेता आला पाहिजे; नाही तर त्यांच्यात अर्थ नाही. या भूमिकेवरून रसेल यांचे संक्षेपक्षमतेचे गृहीततत्त्व किंवा झर्मेलो यांचे निवड स्वयंसिद्ध अशासारखी सर्वव्यापक विधाने करणे नियमबाह्य ठरते.

अंत:प्रज्ञावाद्यांचा विमध्य सिद्धांताचा अस्वीकार मात्र सापेक्ष आहे. एखादे विधान सत्य की असत्य हे जर परिमित पायऱ्यांनी सिद्ध करता येत असेल तर विमध्य सिद्धांत वैध असतो; परंतु अनंताचा उपयोग करणाऱ्या व्यापक विधानांच्या बाबतीत या दोन्हीशिवाय तिसरीही शक्यता असण्याचा संभव असतो. उदा., सत् संख्या सातत्यकाबद्दलचे सामान्य विधान, अशा विधानांच्या बाबतीत एकतर असे संभवते की, परिमित पायऱ्यांमध्ये त्याचे सत्य की असत्य आहे हे सिद्ध करता येणार नाही किंवा अंत:प्रेरणा द्विभाजन पद्धतीप्रमाणे ते रचनाशीलही नसेल. दुसऱ्या बाबतीत असले विधान अर्थशून्य असल्यामुळे त्याच्या सत्यासत्येचा प्रश्नच या विचारसरणीत उद्‌भवत नाही; परंतु पहिल्या बाबतीत दिलेले विधान सत्य असेल, असत्य असेल किंवा सत्य किंवा असत्य असा निश्चित निर्णय घेणे त्याच्याबद्दल अशक्य असेल. गोल्डबाख यांचे प्रमेय किंवा फेर्मा यांचे अखेरचे प्रमेय ही अशा प्रकारची विधाने असणे असंभवनीय नाही आणि शिवाय अशा प्रकारच्या शक्यतेला गोडेल यांच्या अपूर्ण सिद्धांताने अधिक पुष्टी मिळते. म्हणूनच एखादे विधान सत्य म्हणून सिद्ध करता येत नाही, एवढ्यावरूनच ते असत्य ठरत नाही. विधान सत्य आहे असे मानून त्यातून विरोधी निष्कर्ष काढून दाखविता आला तरच ते विधान असत्य ठरविणे योग्य होईल.

अंत:प्रज्ञावाद्यांच्या प्रमुख सिद्धांतानुसार शुद्ध गणिताचा बहुतेक भाग त्याज्य ठरतो; यांत वैश्लेषिक गणित आणि संच-प्रक्रिया गणित यांचाही समावेश होतो. या संप्रदायांच्या गणितज्ञांनी मोठ्या हिरीरीने अंत:प्रज्ञावादी धर्तीवर गणिताच्या काही भांगाची पुनर्रचना करून दाखविली आहे. परंतु आतापर्यंत त्यांना आलेले यश विशेष आशादायक नाही. जोपर्यंत ह्या तिन्ही विचारसरणीचे गणिताच्या अंतिम तात्त्विक पायांसंबंधी एकमत होत नाही तोपर्यत अंत:प्रज्ञावाद्यांच्या या प्रयत्नांबद्दल गणिती जगत विशेष उत्सुक नाही.

या तिन्ही विचारसरणींच्या एकत्र विचारमंथनातून आधुनिक गणित सिद्धांत तत्त्वज्ञान निर्माण झाले. अंत:प्रज्ञावाद्यांना गणितीय कल्पनांचे आदिकारण म्हणून तर्कमीमांसा मान्य नसली, तरी गणितीय विधान अंत:प्रज्ञा पद्धतीने प्रस्थापित झाल्यानंतर त्याचे तार्किक विश्लेषण आवश्यक असते. ब्रौवर यांच्या उपपत्तीला आकारात्मक तार्किक स्वरूप हीटिंग यांनी आपल्या अंत:प्रज्ञापद्धतीच्या सांकेतिक तर्कप्रणालीद्वारा दिले आहे. अंकगणिताला विगमनपद्धतीनुसार गृहीततत्त्वांचे स्वरूप पेआनो यांनी दिले. त्यावरून स्फूर्ती घेऊन हिल्बर्ट व क्लीन यांनी आवर्ती फलन पद्धती मांडली. प्रत्येक गणितीय विधान या पद्धतीने परिमित पायऱ्यांनी सिद्ध करता आले पाहिजे इतकेच नव्हे, तर त्यातील विधानांची सत्यता प्रत्यक्ष निर्णाण करून दाखविता आली पाहिजे. यालाच रचनाशील सिद्धांत म्हणतात. ही पद्धती अंत:प्रज्ञावाद्यांना अभिप्रेत असल्याने त्यांच्या पद्धतीनुसार रचनाशील पूर्ण संख्यांच्या श्रेढीला आकारात्मक स्वरूप देण्याचे प्रयत्न सुरू झाले आणि चर्च या गणिततत्त्वज्ञांनी असे दाखवून दिले की, प्रत्येक गणनीय फलन आणि सामान्य आवर्ती फलन हे एकच आहेत. त्याकरिता त्यांनी l –व्याख्येयता गणितपद्धती मांडली; या पद्धतीचे जोरदार समर्थन ट्यूरिंग यांनी केले; त्यांनी गणन पद्धती व संगणक यंत्रातील संगणन एकच आहेत हे दाखविण्याकरिता एका सैद्धांतिक संगणक यंत्राची रचना करून दाखविली. याला ट्यूरिंग यंत्र म्हणतात.

कँटर यांच्या संचपद्धतींतील विरोधामास टाळण्याकरिता झर्मेलो, फॉन नॉयमान आणि बेर्नाइस यांनी ‘निवड तत्त्व’ आणि ‘अनंतत्व’ ह्यांसंबंधीची प्रसिद्ध गृहीततत्त्वे योजून गृहीततत्त्वानुसारी संच पद्धती निर्माण केली आणि तिचे समर्थ प्रतिपादन बूरबाकी यांनी करून असा अभिप्राय दिला की, विशुद्ध गणिताचा योग्य पाया हा सांकेतिक तर्कशास्त्र आणि वरील संचपद्धती यांच्या संयोगाने मिळू शकतो.

सारांश, गणिताच्या तात्त्विक पायांसंबंधीचा वाद निर्णयापर्यंत येण्याचा सध्या तरी संभव दिसत नाही. शेवटी कांट यांच्या विधानाप्रमाणे मानवी ज्ञान हे अंत:प्रज्ञेत स्फुरते; तिथून संकल्पनांमध्ये प्रगत होते व शेवटी अमूर्त विचारांत परिणत होते; म्हणून या तीन परस्परविरोधी विचारसरणींच्या योग्य समन्वयातच गणिततत्त्वाचा पाया बघितला पाहिजे. अर्थात या वादविषयक प्रश्नांवर गणिताची प्रगती व विकास सुदैवाने अवलंबून नाही.

--------------------------------------------------------------------------------------------