समजा, क्षा आणि या हे दोन संच (उदा., व्यक्ती, वस्तू, वैज्ञानिक निरीक्षणे इत्यादींचे समूह) आहेत. जर एखाद्या नियमानुसार क्षा मधील प्रत्येक घटकाचा या मधील कोणत्यातरी एकाच घटकाशी संवद प्रस्थापित होत असेल, तर त्या नियमास ‘क्षा चे या वरील फलन’ असे म्हणतात आणि हे फ : क्षा या असे लिहितात. समजा, क्ष हा क्षा मधील एक घटक आहे व त्याचा या मधील य ह्या घटकाशी संवाद आहे, तर य ला ‘क्ष ची फ-कृत प्रतिमा’ म्हणतात आणि हे य = फ (क्ष) असे दर्शवितात. असेच इतर घटकांसंबंधी म्हणता येईल. हेच व्यापक अर्थाने क्षा चे या वरील फलन फ दाखविणारे समीकरण य = फ(क्ष) होय. वरील नियम जर विरुद्ध दिशेने उपयोगात आणता आला आणि त्यायोगे या मधील प्रत्येक घटकाचा क्षा च्या कोणत्या तरी एकाच घटकाशी संवाद होत असेल, तर अशा विरुद्ध दिशेच्या नियमास ‘फ चे व्यस्त फलन’ म्हणतात. हे फ-१ : याक्षा असे लिहितात आणि फ व्यस्त या ते क्षा असे वाचतात. फ फलनान्वये क्षा आणि या ह्या दोन संचांत जर एकासएक संवाद प्रस्थापित होत असेल, तरच फ-१ चे अस्तित्व शक्य आहे हे सहज लक्षात येईल.
फ : क्षा या असेल तर क्षा ला ‘फ चा प्रांत’, या ला फ चा ‘सहप्रांत’, आणि या मधील प्रतिमा-घटकांच्या उपसंचास ‘फ ची कक्षा किंवा व्याप्ती’ म्हणतात. सर्व क्ष घटकांची प्रतिमा जर एकच असेल, तर अशा फलनास ‘स्थिर फलन’ म्हणतात. वरील विवेचनातील क्ष घटकांना ‘स्वयंचल’ (स्वतःच बदलणाऱ्या राशी) आणि य घटकांना ‘परचल’ (दुसऱ्या राशींमध्ये होणाऱ्या बदलांनुसार बदलणाऱ्या राशी) म्हणतात.
क्षा आणि या हे संख्या-संच असल्यास त्यांमधील फलनसंबंध बहुधा सूत्ररूपात समीकरणाने मांडता येतो. उदा., क्षा आणि या हे संख्या संच असल्यास य = क्ष२. पण फलनसंबंध नेहमी सूत्ररूपाने मांडता येईलच असे मात्र नाही. उदा., परीक्षार्थी आणि त्यांचे क्रमांक. ज्या फलनांचे प्रांत आणि सहप्रांत सत् संख्यांचे [ संख्या] संच आहेत अशीच फलने या लेखात अभिप्रेत आहेत. ज्यांचे प्रांत व सहप्रांत सदसत् संख्या-संच असतील अशा फलनांचा अभ्यास ‘सदसत्-विश्लेषण’ या गणितशाखेत स्वतंत्रपणे केला जातो [फलन; संच सिद्धांत].
(क-उ, क+उ) या अंतरालात (म्हणजेच क-उ पेक्षा मोठ्या आणि क+उ पेक्षा लहान) असणाऱ्या सत्-संख्यांच्या संचास क चा उ-परिसर म्हणतात. उ चे मूल्य कितीही लहान असले, तरी क च्या परिसरात क्ष असू शकत असेल, तर क्ष ची सीमा क आहे असे म्हणतात आणि हे क्षक असे लिहून क्ष उपगामी क असे वाचतात. जर क्ष आणि क मधील केवल अंतर । क्ष-क। कितीही लहान (धन) उ पेक्षा कमी होणे शक्य असेल, तर क्षक अशीही वेगळ्या शब्दात व्याख्या देता येईल. जर आधी क्ष क पेक्षा लहान असून वाढत्या मूल्याने क ला उपगामी असेल, तर ‘क्ष डावीकडून कप्रत जातो’ असे म्हणतात. हेच ‘क्ष वाम-उपगामी क’ किंवा ‘क्षक+’ असे लिहितात. तसेच ‘क्ष दक्षिण-उपगामी क’ किंवा ‘क्षक-’ असे म्हणता येईल. जर दिलेल्या कितीही मोठ्या प या संख्येपेक्षा क्ष मोठा होणे शक्य असेल तर ‘क्ष∞’ असे लिहून ‘क्ष उपगामी अनंत’ असे वाचतात.∞ हे चिन्ह अनंताकारिता वापरतात. ∞ ही अमुक एक अशी संख्या नसून क्ष ∞ हे क्ष या स्वयंचलाच्या गुणधर्माचे वर्णन होय.
समजा, फ : क्षा या हे एक फलन आहे, क आणि स हे अनुक्रमे क्षा आणि या मधील स्थिरांक आहेत (पहा : आ. १). आता जर दिलेल्या कोणत्याही आणि कितीही लहान उ (> ०) करिता (उ वर अवलंबून असणारी) ढ ही अशी संख्या शोधून काढता आली की, क च्या ढ-परिसरातील संख्यांच्या फ-कृत प्रतिमा स च्या उ-परिसरात पडतील, तर ‘क्ष क असताना फ (क्ष) ची सीमा स आहे’ असे म्हणतात. हे
असे लिहितात. हीच व्याख्या वेगळ्या शब्दांत पुढीलप्रमाणे मांडता येईल : ‘कोणत्याही (धन) उ करिता जर असा ढ अस्तित्वात असेल की, जेव्हा ०<।क्ष-क।<ढ असेल तेव्हा ।फ(क्ष)-स।< उ होईल ,
असे (क्ष-३) या समान अवयवाचा संक्षेप देऊन लिहिता येईल. जर उ ही एखादी दिलेली लहान संख्या असेल, तर ढ (= उ) घेतल्यास ०<।क्ष-३।<ढ असेल तर ०<।फ(क्ष)-५।<उ होईल, हे सहज दाखविता येईल. या उदाहरणाचे वैशिष्ट्य म्हणजे क्ष=३ असताना
असे गणितातील अव्याख्यात (व्याख्या न करता येणारे) रूप मिळते; म्हणजेच ३ या संख्येची फ-कृत प्रतिमा व्याख्यात नाही; परंतु सीमा फ(क्ष) = ५ येते.
(५) अभिसार श्रेणी : जर फ हा फलनाचा प्रांत धन पूर्णांक संच {१, २, ३,...} असेल तर फची कक्षा {फ(१), फ(२), ...} अशी होईल. या कक्षा-संचास श्रेणी म्हणतात. फ(१), फ(२), फ(३) इ. या श्रेणीची पदे होत. जर
असल्याने ती अभिसारी आहे.
(६) अभिसारी श्रेढी : समजा, फ हा फलनप्रांत धन पूर्णांक संच आहे. आता सप = फ(१)+फ(२)+...+फ(प) असे लिहिले आणि जर
(स-सांत संख्या) असेल, तर ‘फ(१)+फ(२)फ(३)+...ही अभिसारी श्रेढी आहे’ असे म्हणतात.
निरनिराळ्या फलनांनी मिळणाऱ्या श्रेणी व श्रेढी यांचा अभ्यास गणितात महत्त्वाचा समजला जातो [ श्रेढी]. आतापर्यंतच्या विवेचनावरून फलनाची माहीत असलेली सीमा सिद्ध कशी करता येते हे पाहिले. परंतु सीमामूल्य शोधून काढणे हेही महत्त्वाचे असून ते खाली दिलेल्या नियमांच्या साहाय्याने सुलभपणे काढता येते : जर
सीमा
क्षक
| | |
सीमा
क्षक
| | |
फ (क्ष) = स
|
आणि
|
ग (क्ष) = म
|
असेल, तर
|
| | | |
(१)
|
सीमा
क्षक
| |
{फ (क्ष)± ग(क्ष)}= स± म
| |
| |
(२)
|
सीमा
क्षक
| | |
{फ (क्ष) × ग(क्ष)}= स × म
| |
| |
(३)
|
सीमा
क्षक
| | |
{फ (क्ष)÷ ग(क्ष)}= स÷ म;
|
म ≠०
|
| |
काही महत्त्वाच्या सीमा खाली दिल्या आहेत :
|
(१)
|
सीमा
क्षक
|
क्षप-कप
|
= पक्षप-१
|
क्ष-क
|
(२)
|
सीमा
क्ष०
|
ज्या क्ष
|
= १
|
क्ष
|
|
[क्ष – अरीयमानात मोजलेला कोन, कोन]
|
(३)
|
सीमा
प∞
|
(
|
१+
|
१
|
)
|
प
|
= e [ इ]
|
२
| |
(३)
|
सीमा
क्ष०
|
कक्ष-१
|
= लॉग eक
|
क्ष
|
फलन-सांतत्य : जर
असेल (क्ष क प्रत डावीकडून किंवा उजवीकडून कसाही जात असला तरी), तर ‘फलन फ हे क्ष = क या ठिकाणी संतत आहे’ असे म्हणतात. वर दिलेल्या उदाहरणांतील फ (क्ष)=क्ष२ हे फलन क्ष=२ या ठिकाणी संतत असून
फ (क्ष)
|
क्ष२ - क्ष-६
|
|
क्ष-३
|
हे फलन क्ष = ३ या ठिकाणी असंतत किंवा खंडित आहे, असे दिसून येईल. एखाद्या अंतरालातील सर्व बिंदूंच्या ठिकाणी जर फ संतत असेल तर ‘फ सबंध अंतरालात संतत आहे’, असे म्हणतात. फलनाचे भूमितीय स्वरूप म्हणजे त्याचा संबंधी वक्र होय. जर फ एखाद्या अंतरालात संतत असेल, तर त्यात फलनवक्रही संतत असतो. तसेच ज्या ठिकाणी फ संतत नसेल, त्या ठिकाणी त्याचा वक्रही खंडित झालेला दिसून येईल.
अवकलज : जर
सीमा
क्ष क
|
फ(क्ष)-फ(क)
|
क्ष-क
|
निश्चित असेल तर त्या सीमेस ‘फ(क्ष) चा क्ष=क या ठिकाणाचा अवकलज’ म्हणतात व तो ‘[फ'(क्ष)]क्ष = क’ किंवा ‘फ'(क)’ असा दर्शवितात. जर य=फ(क्ष) हे फलन असेल आणि क्ष मध्ये ∆ क्ष हा (धन किंवा ऋण) बदल केला असता य मध्ये ∆य हा बदल होतो असे समजले, तर ∆ब=फ(क्ष+∆क्ष)-फ(क्ष) हे उघड आहे. या दोन बदलांचे गुणोत्तर
असून त्याची सीमा ∆क्ष ० असता जर निश्चित असेल, तर तिला ‘फ'(क्ष)’ असे संबोधतात. म्हणजेच
फ'(क्ष)=
|
सीमा
∆क्ष ०
|
फ(क्ष+∆क्ष)-फ(क्ष)
|
∆क्ष
|
वर दिलेल्या दोन्ही व्याख्या समानार्थी आहेत, हे सहज लक्षात येईल. हा अवकलज य', Dक्षय किंवा Dय असाही लिहिण्याची प्रथा आहे.
जर ∆ क्ष फक्त धन (+) असेल तर वरील सीमेला दक्षिण अवकलज आणि ∆ क्ष जर फक्त ऋण (-) असेल तर ‘वाम अवकलज’ म्हणतात. हे दोन्ही अवकलज समान असतील तरच फ'(क्ष) हा एकमेव अवकलज शक्य आहे हे उघड आहे. क्ष च्या दिलेल्या मूल्यासाठी जर फ'(क्ष) या अवकलजाचे मूल्य सांत असेल, तर फ(क्ष) हे फलन त्या ठिकाणी संतत असले पाहिजे आणि फलन फ(क्ष) जर स्थिर फलन असेल तर अवकलज शून्य असतो असे सिद्ध करता येते.
अवकल
जर क्ष च्या एखाद्या मूल्याच्या परिसरात फ(क्ष) सांत व निश्चित असून ∆य = स·∆क्ष+उ·∆क्ष (जेथे स∆क्ष वर अवलंबून नाही आणि
असे लिहिता येत असेल, तर ‘फ(क्ष) हे फलन त्या ठिकाणी अवकलनीय आहे’ असे म्हणतात. वरील समीकरणातील उजव्या बाजूच्या पहिल्या पदाला ‘य चा अवकल’ म्हणतात व तो dय असा लिहितात. म्हणजेच
dय=स·∆क्ष आणि ∆य = dय + य·उ∆क्ष यावरून
हे दिसून येते. म्हणजेच फ(क्ष) अवकलनीय असेल, तर फ'(क्ष) अस्तित्वात असून त्याचे मूल्य स असते. तसेचअवकल dय हा अवकलज आणि ∆क्ष (क्ष मधील कोणताही स्वेच्छ सूक्ष्म बदल) यांचा गुणाकार होय. आता जर फ(क्ष)=क्ष असेल तर फ'(क्ष) =१ होऊन आणि dक्ष=∆क्ष येईल. म्हणून स्वयंचलाचा अवकल हा त्याच्या बदलाइतका असतो, अशी व्याख्या करता येईल. याचा उपयोग करून dय=फ'(क्ष)dक्ष असे लिहिता येईल व
असे मिळेल. म्हणजेच फ(क्ष)चा अवकलज म्हणजे य चा (म्हणजेच फ चा) अवकल आणि स्वयंचल क्ष चा अवकल यांचे गुणोत्तर होय. वरील विवेचनातील ∆य = स·∆क्ष+उ·∆क्ष, यातील स ला अवकलांक म्हणण्याची प्रथा आहे. अवकलज आणि अवकलांक यांतील सूक्ष्म भेद एकाहून अधिक स्वयंचलांच्या फलनांच्या अभ्यासात जास्त स्पष्ट होतो. फक्त एकाच स्वयंचलाच्या फलनांविषयी विवेचन असेल, तर फ'(क्ष) आणि
हे एकच मानावयास हरकत नाही.
उच्चकोटिक अवकलज
फ'(क्ष) किंवा
हेही क्ष चे फलनच असल्यामुळे त्यांनाही अवकलज त्यांचाही अवकलज काढता येतो आणि तो फ''(क्ष)
किंवा
असा लिहितात. अर्थात
सीमा
∆क्ष ०
|
फ'(क्ष+∆क्ष)-फ'( क्ष)
|
∆क्ष
|
ही सीमा अस्तित्वात आहे, असे येथे गृहीत धरले आहे. याचप्रमाणे
d३य,
| |
d४य,
| |
d५य,
|
........
|
dपय
|
dक्ष३
|
dक्ष४
|
dक्ष५
|
dक्षप
|
इ. प-कोटिक अवकलज लिहिता येतील.
चा द्वितीय अवकलज,
ला तृतीय अवकलज,...इ. नावे आहेत.
अवकलन-पद्धती
दर वेळी मूळ व्याख्येचा उपयोग करून कोणत्याही फलनाचा अवकलज काढणे हे बऱ्याचदा त्रासदायक ठरते. खाली काही महत्त्वाच्या फलनांचे अवकलज आणि काही महत्त्वाचे नियम दिलेले आहेत. त्यांच्या साहाय्याने अवकलन सुलभतेने करता येते.
फ(क्ष)
|
क्षप
|
ज्या क्ष
|
कोज्या क्ष
|
eक्ष
|
लॉगe क्ष
|
फ'(क्ष)
|
पक्षप-१
|
कोज्या क्ष
|
-ज्या क्ष
|
eक्ष
|
१/क्ष
|
नियम : (१)जर फ(क्ष) आणि ग(क्ष) ही दोन फलने असतील तर
(फ ±ग)' =फ'± ग'
(फ×ग)' =फ'·ग +फ·ग'
(फ÷ग)' =(फ'·ग -फ·ग') ÷ग२ ; ग = ०
(२) जर य=फ(झ) आणि झ=ग(क्ष)असेल तर
dय
|
=
|
dय
|
×
|
dझ
|
dक्ष
|
dझ
|
dक्ष
|
याचेच व्यापकीकरण म्हणजे जर य= फ(झ१), झ१=फ१(झ२), ......., झप=फप(क्ष) असेल,तर
dय
|
=
|
dय
|
×
|
dझ१
|
×........×
|
dझप
|
dक्ष
|
dझ१
|
dझ२
|
dक्ष
|
तसेच य=फ(क्ष) असेल आणि तर क्ष=फ-१(य)असे लिहिता येत असेल, तर
म्हणजेच
असे मिळते. यावरून फ-१(य) चा अवकलज काढता येतो.
वरील नियमांचा उपयोग खालील उदाहरणांवरून स्पष्ट होईल :
(१)फ(क्ष)= क्ष२+ज्या क्ष, ∴ फ'(क्ष)= २क्ष+कोज्या क्ष
(२)फ(क्ष)= क्ष२·कोज्या क्ष, ∴ फ'(क्ष)= २क्ष·कोज्या क्ष+ क्ष२·(-ज्या क्ष)
(३)
|
फ(क्ष)=स्प क्ष=
|
ज्या क्ष
|
कोज्या क्ष
|
(४)य=(क्ष२+ज्या क्ष)४. जेथे झ= क्ष२+ज्या क्ष असे समजा,म्हणजेच य = झ४ आणि झ=क्ष२+ज्या क्ष
∴
|
dय
|
= ४ झ३ ×(२क्ष+कोज्या क्ष)
|
dक्ष
|
| |
= ४{ क्ष२+ज्या क्ष}३ ×{२क्ष+कोज्या क्ष}
|
(५) य = ज्या-१क्ष ∴क्ष =ज्या य
dय
|
= १/
|
dक्ष
|
=
|
१
|
=
|
१
|
dक्ष
|
dय
|
कोज्या य
|
√१-क्ष२
|
तसेच
d (स्प-१ क्ष)
|
=
|
१
|
dक्ष
|
१-क्ष२
|
दाखविता येते.
(६) य =लॉग झ, झ=फ(क्ष) यावरून
असे मिळते. हेच
d
|
{लॉग फ(अ)}=
|
१
|
× फ '(क्ष)
|
dक्ष
|
फ(क्ष)
|
असे लिहिता येईल.
(७) अनेक फलनांचा गुणाकार अथवा भागाकार यांनी मिळणाऱ्या फलनाचे अवकलन लॉगरिथमाच्या साहाय्याने सुलभ होते. उदा.,
असल्यास लॉग फ = लॉग फ१+ लॉग फ२ –लॉग फ३
∴
|
१
|
·फ' =
|
१
|
·फ१'+
|
१
|
× फ२' -
|
१
|
·फ३'
|
फ
|
फ१
|
फ२
|
फ३
|
∴
|
फ' = फ
|
[
|
फ१'
|
+
|
फ२'
|
+
|
फ३'
|
]
|
फ१
|
फ२
|
फ३
|
(८) कोणत्याही फ(क्ष) साठी फ(क्ष)=e लॉग फ(क्ष) हे पडताळून पाहता येईल. याचा काही उदाहरणांत चांगला उपयोग होतो. उदा.,
फ(क्ष) = कक्ष
|
=e लॉग क
|
क्ष
|
= e क्ष लॉग क
|
क्ष
|
फ'(क्ष)= लॉग क × e क्ष लॉग क = लॉग क × क क्ष
(९) दोन फलनांच्या गुणाकाराचे उच्चकोटिक अवकलज काढण्यासाठी लायप्निट्स यांचा नियम पुढीलप्रमाणे आहे :
|
प
| | | | |
dप (फ·ग)
|
= ∑
|
पसर
|
dर फ
|
×
|
dप-र ग
|
dक्षप
|
dक्षर
|
dक्षप-र
|
|
र=१
| | | |
|
(१०) काही वेळा क्ष आणि य हे दोन्ही चल तिसऱ्याच एखाद्या प्रचलाची फलने असतात. उदा., क्ष = फ (त), य = ग (त). अशा वेळी
dय
|
=
|
dय
|
÷
|
dक्ष
|
dक्ष
|
dत
|
dत
|
हे सूत्र वापरून य चा क्ष सापेक्ष अवकलज काढता येतो.
वरील विवेचनावरून असे दिसून येईल की, प्राथमिक स्वरूपाच्या फलनां-पासून (सांत) बैजिक क्रियांच्या साहाय्याने मिळणार्या सर्व फलनांचे अवकलज वर दिलेले नियम वापरून काढता येतात.
अवकलजाचा भूमितीय अर्थ
हा उद्धोधक आणि महत्त्वपूर्ण आहे. एखाद्या वक्राला स्पर्शिका काढण्यासाठी अवकलजाचा उपयोग प्रथम न्यूटन यांनी केला. समजा, फ फलनाच्या प्रातिनिधिक वक्रावर ख [क, फ (क)] हा एक बिंदू घेतला. वक्रावरचाच ख जवळचा एक बिंदू ग [क्ष, फ (क्ष)] घेतला. वैश्लेषिक द्विमितीय भूमितीय सूत्राप्रमाणे खग या छेदिकेचा उतार
आहे. मागे दिलेल्या स्पर्शिकेच्या व्याख्येवरून वक्राला ख बिंदूच्या ठिकाणू स्पर्शिका म्हणजे
होय, तसेच गख आणि क्षक हे समानार्थी आहेत. यावरून जर स्पर्शिकेचा उतार म असेल तर
म=
|
सीमा
क्षक
|
फ(क्ष)-फ(क)
|
= फ'(क),
|
क्ष-क
|
हे सहज लक्षात येईल. तसेच वक्राला ख बिंदूशी काढलेल्या स्पर्शिकेचे समीकरण
य-फ(क) = फ'(क)[ क्ष-क] असे मांडता येईल.
आ. 3 . रोल प्रमेयरोल प्रमेय : जर (१) फ(क्ष) हे फलन [क, ख] या आवृत अंतरालात (ज्यात क आणि ख ही दोन्ही मूल्ये समाविष्ट आहेत) संतत असेल, (२) फ'(क्ष) हा त्याचा अवकलज, (क, ख) या अनावृतअंतरालात (ज्यात क आणि ख ही मूल्ये समाविष्ट नाहीत) अस्तित्वात असेल आणि (३) फ(क)= फ(ख) असेल तर त्या अनावृत अंतरालात क्ष चे एक तरी मूल्य ग (क<ग<ख) असे असलेच पाहिजे की, फ'(ग) = ० असेल.
या प्रमेयाचा भूमितीय अर्थ पुढीलप्रमाणे आहे. प्रमेयाच्या विधानात दिलेल्या अटींची पूर्तता करणाऱ्या फलनाचा प्रातिनिधिक वक्र काढला (पहा : आ.३) तर असे दिसून येईल की, जर प[क, फ(क)] आणि
ल[ख, फ(ख)] हे वक्रावरील दोन बिंदू असे घेतले की, पल ही रेषा क्ष-अक्षाला समांतर आहे (म्हणजेच फ(क)=फ(ख) आहे), तर प आणि ल च्या मध्ये कोठे तरी (एकदा तरी) वक्राला काढलेली स्पर्शिका क्ष-अक्षाला समांतर असलीच पाहिजे (जिथे स्पर्शिकेचा उतार फ' (क्ष) = ० असेल).
आ. ४. लाग्रांझ माध्य-मूल्य प्रमेय.लाग्रांझ माध्य-मूल्य-प्रमेय : जर एखादे फलन फ(क्ष) रोल प्रमेयातील फक्त पहिल्या दोन अटींची पूर्तता करीत असेल, म्हणजेच फ(क्ष) हे [क, ख] या आवृत अंतरालात संतत असून फ'(क्ष), (क, ख) या अनावृत अंतरालात अस्तित्वात असेल, तर क्ष चे एक तरी मूल्य ग (क< ग< ख) असे असेल की,
या प्रमेयाचा भूमितीय अर्थ पुढीलप्रमाणे आहे : फ(क्ष) च्या वक्रावर (पहा
: आ. ४) प(क, फ(क)) आणि ल(ख, फ(ख)) या कोणत्याही दोन बिंदूमध्ये एक तरी बिंदू (ग, फ(ग)) असा असलाच पाहिजे की, त्या बिंदूशी वक्राला स्पर्शिका काढल्यास ती पल ला समांतर असेल; म्हणजेच तिचा उतार फ'(ग) पल च्या उताराबरोबर म्हणजेच
असेल.
कोशी माध्य-मूल्य-प्रमेय
जर फ(क्ष) आणि ग (क्ष) ही दोन्ही फलने रोल प्रमेयाच्या पहिल्या दोन अटींची पूर्तता करीत असतील, (आवृत अंतराल [क, ख] मध्ये संतत आणि अनावृत अंतराल (क, ख) मध्ये अवकलजांचे अस्तित्व) आणि अंतरालात कोठेही ग'(क्ष) ≠ ० असेल, तर (क, ख) या अंतरालात क्ष चे एक तरी मूल्य घ असे असेल की,
फ(ख)-फ(क)
|
=
|
फ'(घ)
|
ग(ख)-ग(क)
|
ग'(घ)
|
यामध्ये ग(क्ष)= क्ष घेतले तर लाग्नांझ प्रमेय मिळते, हे कहज लक्षात येईल. तसेच जर फ(क)= ग(क)= ० असेल, तर
( क < घ < ख), असे मिळेल.
लॉपीताल यांचा नियम : वर दिलेल्या कोशी माध्य-मूल्य-प्रमेयाचा अतिशय महत्त्वाचा अनुप्रयोग म्हणजे
या स्वरूपाच्या सीमांची निश्चिती करू शकणारा लॉपीताल यांचा नियम होय. हा नियम पुढीलप्रमाणे आहे : जर
आणि
असेल आणि
सीमा
क्षक
|
फ'(क्ष)
|
ग'(क्ष)
|
(सांत वा अनंत)निश्चित असेल, तर
सीमा
क्षक
|
फ(क्ष)
|
=
|
सीमा
क्षक
|
फ'(क्ष)
|
ग (क्ष)
|
ग'(क्ष)
|
असते. हा नियम वापरताना खालील विशेष गोष्टी विचारात घेणे आवश्यक आहे :
(१) जर
आणि
असेल, तर हाच नियम पुन्हा वापरावा लागेल. जसे,
सीमा
क्षक
|
फ'(क्ष)
|
=
|
सीमा
क्षक
|
फ'' (क्ष)
|
ग'(क्ष)
|
ग''(क्ष)
|
उदा.,
सीमा
क्ष०
|
१-कोज्या क्ष
|
=
|
सीमा
क्ष०
|
ज्या क्ष
|
=
|
सीमा
क्ष०
|
कोज्या क्ष
|
=
|
१
|
क्ष२
|
२ क्ष
|
२
|
२
|
(२)जर फ(क्ष) किंवा ग(क्ष) यांपैकी एकाची सीमा शून्य आणि दुसऱ्याची शून्येतर असेल, तर हा नियम वापरता येणार नाही, हे उघड आहे.
(३) जर
असेल (या ठिकाणी फ(क्ष) च्या सीमेसंबंधी विचार केला जात नाही) आणि
सीमा
क्षक
|
फ'(क्ष)
|
ग'(क्ष)
|
(सांत वा अनंत) अस्तित्वात असेल, तर
सीमा
क्षक
|
फ(क्ष)
|
=
|
सीमा
क्षक
|
फ' (क्ष)
|
ग(क्ष)
|
ग'(क्ष)
|
उदा.,
सीमा
क्ष∞
|
क्ष३+३क्ष-२
|
=
|
सीमा
क्ष∞
|
३क्ष२+३
|
=
|
सीमा
क्ष∞
|
६ क्ष
|
= ∞
|
क्ष२ -१
|
२क्ष
|
२
|
टेलर प्रमेय : जर फ(क्ष) हे फलन असे असेल की, (१) [क, क+ह] या आवृत अंतरालात फ चे प कोटीपर्यंतचे सर्व अवकलज संतत असून (२) [क, क+ह] या अनावृत अंतरालात (प+१) कोटीचा अवकलज संतत आहे, तर
फ(क+ह) = फ (क)+
|
फ'(क)
|
ह+
|
फ''(क)
|
ह२+....+
|
फ(प)(क)
|
हप+शप+१
|
१ !
|
२!
|
प!
|
असे लिहिता येते. येथ श प+१ म्हजे (प+१) पदांनंतर उरणारा शेष भाग होय. या शेष भागाचे मूल्य पुढीलप्रमाणे असते :
शप+१=
|
फ प(+१) (क+ट ह)
|
ह प+१, (० < ट < १)
|
(प+१) !
|
| |
(लाग्रांझप्रणीत)
|
किंवा
शप+१=
|
फ प(+१) (क+त ह)
|
(१-त)प ह प +१, (० < त < १)
|
प !
|
| |
(कोशीप्रणीत)
|
या प्रमेयासंबंधी खालील गोष्टी महत्त्वाच्या आहेत :
(१) जर ह = क्ष -क असे लिहिले तर या प्रमेयाचे सामान्यपणे वापरात असलेले पुढील रूप मिळते :
फ(क्ष) = फ (क)+
|
फ'(क)
|
(क्ष-क)+
|
फ''(क)
|
(क्ष-क)२
|
+....+
|
फ(प)(क)
|
(क्ष-क) प+शप+१
|
१ !
|
२!
|
प!
|
येथे
शप+१=
|
फ(प+१) [क+ट(क्ष-क)]
|
(क्ष-क)प+१, (० < ट < १)
|
(प-१)!
|
असे शेषभाग सूत्र मिळते.(२) जर क = ० हे विशिष्ट मूल्य घेतले तर
असे सूत्र मिळते. यास ‘’मॅक्लॉरिन सूत्र‘’ म्हणतात. येथे शप+१ ची मूल्ये वरील सूत्रा-मध्येच क = ० घालून मिळतील.(३) टेलर किंवा मॅक्लॉरिन सूत्राचा उपयोग एखाद्या फलनाची, क्ष च्या क (किंवा शून्य) या मूल्याच्या परिसरात, आसन्न मूल्ये काढण्याकरिता करण्यात येतो. फ किंवा त्याच्या अवकलजांची मूल्ये शून्याकरिता काढणे सोपे असल्याने मॅक्लॉरिन सूत्र साहजिकच अधिक प्रमाणात वापरले जाते.(४) जर फ(क्ष)चे सर्व कोटींचे अवकलज [क, क्ष] या अंतरालात अस्तित्वात असतील तर *** ही श्रेढी अभिसारी असण्याची आवश्यक आणि पर्याप्त अट म्हणजे ** शप+१=० ही होय. या अभिसारी श्रेढीची सीमा फ(क्ष)असेल, हे उघडच आहे.(५) वरील सूत्रांचा उपयोग करून सिद्ध होणार्या काही महत्त्वाच्या श्रेढी पुढीलप्रमाणे आहेत :
अवकलांचे अनुप्रयोग
(१) आसन्न मूल्ये : य = फ(क्ष) असेल तर अवकल dय = फ'(क्ष).∆क्ष या सूत्राचा उपयोग करून काही वेळा आसन्न (स्थूल) मूल्ये काढता येतात.
येथे उजवीकडील तिसरे पदच इतके लहान आहे की, पुढील सर्व पदे आणखीच लहान अतएव उपेक्षणीय होत. म्हणून
किंवा सुधारित अंदाज ९९.९५,९९,९९२ इतका येईल. उदा., (आ) स्प (४५० २०') काढणे आहे. येथे य = स्प क्ष (क्ष हा अरीय-मानात मोजावा) हे फलन घेऊ.
मागील उदाहरणाप्रमाणेच येथेही टेलर सूत्र वापरता येईल. (२) दरमापक : य=फ(क्ष) असल्यास, *हा य चा क्ष सापेक्ष दरमापक असतो. कारण य मधील dय बदल, क्ष मधील dक्ष या बदलानुरूप झालेला आहे. विज्ञान- व तंत्र-विद्यांत तसेच अर्थशास्त्रादी मानव्यविद्यांत अगर जेथे कालसापेक्ष किंवा स्थापसापेक्ष बदलणार्या राशींचा अभ्यास करावा लागतो तेथे अवकलज हा तत्क्षणिक (कालसापेक्ष) किंवा तत्स्थानिक (स्थानसापेक्ष) बदल दरमापक म्हणून उपयोगी पडतो. किंबहुना अवकलजाची मूळ उत्पत्ती अशाच स्वरूपाच्या प्रश्नांतून झाली. शुद्ध गतिकीतील वेग, प्रवेग, द्रायुगतिकीतील प्रवाह-वेग इ. अनेक उदाहरणांचा यासबंधात निर्देश करता येईल. (३) फलनाची (सापेक्ष) महत्तम व लघुतम मूल्य : जर क च्या कोणत्या तरी परिसरात म्हणजेच (क - उ, क + उ) या अंतरालातील क्ष च्या कोणत्याही मूल्यासाठी फ(क्ष) फ(क) हे सत्य असेल तर ‘’फ(क) हे फ(क्ष)चे (सापेक्ष) महत्तम मूल्य आहे‘’ असे म्हणतात. तसेच जर फ(क्ष)फ(क) असेल तर फ(क) हे फ(क्ष) चे (सापेक्ष) लघुतम मूल्य होय. जर **
फ(क्ष) चा वक्र काढल्यास ज्या ठिकाणी फ(क्ष) चे महत्तम किंवा लघुतम असतील, त्या बिंदूंना ‘’फ(क्ष) चे स्तब्ध बिंदू‘’ म्हणतात. जर फ''(क) = ० असेल [फ'(क)=० असो वा नसो], तर ‘’क हा बिंदू फ(क्ष) चा नतिवर्तन बिंदू (म्हमजे ज्या बिंदूपाशी स्पर्शिकेच्या फिरण्याची दिशा बदलते) आहे‘’ असे म्हणतात. या बिंदूशी फ(क्ष) चा महत्तम किंवा लघुतम अस्तित्वात नसून, फ'(क्ष), म्हणजेच फ-वक्राचा उतार, क्षणमात्र स्थिर असतो. भूमितीय आलेखचित्रावरून (पहा : आ. ५) वर वर्णन केलेल्या
महत्तम व लघुतमांचा अर्थ चांगला स्पष्ट होतो. फ(क्ष) चा प्रातिनिधिक वक्र काढल्यास जिथे स्तब्ध बिंदू असेल तिथे वक्राला स्पर्शिका क्ष-अक्षाला समांतर आहे असे आढळते; म्हणजेच उतार फ'(क्ष) =०. नितिर्वतन बिंदूशी वक्राला पीळ पडल्यासारखे दिसून स्पर्शिका वक्राला आरपार छेदत असल्याचे दिसेल. महत्तमे व लघुतमे यांचे अनुप्रयोग विविध क्षेत्रांत आढळून येतात हे खालील उदाहरणांवरून स्पष्ट होईल
उदा. (आ) : समजा, आपणास दिलेले क्षेत्रफळ फ असणारा व कमीतकमी परिमिती असलेला आयात शोधून काढावयाचा आहे. कोणत्याही आयताचे क्षेत्रफळ क आणि एक बाजू क्ष असेल, तर दुसरी बाजू * असली पाहिजे. या आयताची परिमिती य असल्यास ** असे लिहाता येईल. यावरून** आणि**मिळते. आता**आणि* असेल. म्हणजेच * असता य लघुतम आहे. पण याचा अर्थ असा की, आयताच्या दोन्ही बाजू सारख्या असल्यास म्हणजे तो चौरस असल्यास परिमिती लघुतम मिळते. उदा. (इ) : एका कारखान्यात व घनफळाच्या पत्र्याच्या जात्य वृत्तचिती (दंडगोल) बनवावयाच्या आहेत. या वृत्तचितीची मापे कोणती घेतली असता कमीत कमी क्षेत्रफळाचा पत्रा लागेल ? समजा, पायाची त्रिज्या र आणि उंची ह घेतली तर घनफळ घ = र२ह आणि क्षेत्रफळ **असे समीकरण मिळेल, यावरूनह=२र मिळतो. सारांश, पाहिजे असलेल्या जात्य वृत्तचितीची उंची पायाच्या त्रिज्येच्या दुप्पट असली पाहिजे. (४) समीकरण सिद्धांतातही रोल
प्रमेयाचा उपयोग करता येतो. जर फ(क्ष) हे बैजिक बहुपदीच्या स्वरूपात असेल तर ते संतत असून त्याचा अवकलजही अस्तित्वात असतो. रोल प्रमेयाचा उपयोग करून फ(क्ष) = ० या समीकरणाविषयी पुढील गुणधर्म सिद्ध करता येतात : (अ) फ (क्ष) = ० या समीकरणाच्या कोणत्याही दोन भिन्न सत् निर्वाहांच्या मध्ये साधित समीकरणाचा [फ'(क्ष) = ०] एक तरी निर्वाह असलाच पाहिजे. (आ) जर फ (क्ष) = ० चे सर्व निर्वाह सत् असून परस्परांपासून भिन्न असतील तर त्यांतील कोणत्याही दोन लगतच्या निर्वाहांमध्ये फ'(क्ष) = ० याचा फक्त एकच निर्वाह असेल. तसेच फ(क्ष) = ० याचे सर्व निर्वाह भिन्न असतील, तर फ(क्ष) = ० आणि फ'(क्ष) = द ह्या दोन समीकरणांत कोठलाच निर्वाह समाईक असणारा नाही. अनेकचल फलने : क्ष१, क्ष२, ..., क्षप हे (सत्मूल्यी) प चल असतील तर क्ष() हा प-मितीय अवकाशातील एक बिंदू होय. अशा बिंदूंचा सा हा संच घेतला आणि जर सा मधील प्रत्येक बिंदूंचा एखाद्या नियमानुसार एकाच झ या सत्संख्येशी संबंध प्रस्थापित होत असेल, तर त्या नियमास ‘’सा वरील प-चल-फलन‘’ म्हणतात व हे झ=‘’फ चा प्रांत‘’ तसेच या-संचास ‘’सहप्रांत‘’ व प्रतिमा-संचास ‘’फ ची व्याप्ती‘’ (हे एकचल फलनाप्रमाणेच) म्हणतात. द्विमितीय अवकाशात (प्रतल भूमितीत) ज्याप्रमाणे क्ष(क्ष१, क्ष२) आणि क (क१, क२) या बिंदूंमधील अंतर ** या सूत्राने दिले जाते, त्याच धर्तीवर प-मितीतही क्ष() आणि क() या दोन बिंदूंमधील अंतराची **अशी व्याख्या करतात. यावरून क च्या उ-परिसराची व्याख्या ‘’ज्या बिंदूंचे क पासूनचे अंतर उ पेक्षा कमी अशा बिंदूंचा संच‘’ अशी सुलभपणे करता येते. **, फ चे क बिंदूपाशी सांतत्य इ. व्याख्या एकचल फलनांच्या बाबतीत आहेत, त्यात योग्य ते फेरफार करून प-चल फलनांकरिता लिहिता येतात. सीमांसंबंधीचे नियम किंवा इतर सूत्रेही त्याचप्रमाणे लिहिणे शक्य आहे. विवेचनाच्या सोयीसाठी यापुढे द्विचल फलनांचा विचार केलेला असून प-चल फलनांकरिता त्यावरून सहज व्यापकीकरण करता येईल. एकचल फलनांप्रमाणेच जे गुणधर्म आहेत त्यांसंबंधी फारसे विवेचन न करता अनेक चलफलनांच्या विशेष गुणधर्मांचे येथे जास्त विवरण केलेले आहे. द्विचल फलने फ() अशी लिहिण्यापेक्षा फ() अशी लिहिणे भूमितीय दृष्ट्या अधिक सोयीचे ठरते. आंशिक अवकलज :**ही (सांत) सीमा अस्तित्वात असेल, तर तिला ‘’फ(क्ष,य) चा क्ष सापेक्ष आंशिक अवकलज [(क्ष, य) या बिंदूशी]‘’ असे म्हणतात आणि तो *किंवा फक्ष(क्ष,य) असा दर्शवितात. अवकलज आंशिक आहे हे दर्शविण्यासाठी d ऐवजी हे चिन्ह वापरले आहे. जर झ = फ(क्ष,य) असेल तर आंशिक अवकलज (क्ष सापेक्ष)* किंवा झक्ष असाही लिहितात. याचप्रमाणे **असे लिहितात येईल. आंशिक अवकलाचा भूमितीय अर्थ पुढीलप्रमाणे आहे. ज्या बिंदूंचे सहनिर्देशक (क्ष, य, झ) हे झ=फ(क्ष, य) ह्या समीकरणाची पूर्तता करतात अशा बिंदूंचा संच घेतल्यास मिळणारे पृष्ठ म्हणजेच
झ = फ(क्ष, य) या समीकरणाचा भूमितीय अर्थ होय (पहा : आ. ६). दोनापेक्षा अधिक चलांच्या फलनांच्या बाबतीत इकत्या सोप्या रीतीने भूमितीय अर्थ लावता येणार नाही, हे उघड आहे. झ = फ(क्ष, य) या पृष्ठाचा क्ष = क्ष० या प्रतलाने छेद घेतल्यास तो झ = फ (क्ष०, य) या समीकरणाने दर्शविलेला वक्र असतो. या वक्राच्या समीकरणात क्ष फक्त य वर अवलंबून असून क्ष (=क्ष०) स्थिर आहे. अर्थातच **म्हणजे या वक्राला (क्ष०, य०, झ०) या बिंदूशी काढलेल्या स्पर्शिकेचा उतार होय, हे लक्षात येईल. याचप्रमाणे फक्ष(क्ष०, य०) याचाही अर्थ लिहिता येईल. फ(क्ष, य) चे आंशिक अवकलज काढण्याची प्रत्यक्ष रीत पुढीलप्रमाणे आहे : ज्या चलाचा सापेक्ष अवकलज काढावयाचा असेल, तोच चल फक्त बदलता ठेवून बाकीचे चल स्थिर आहेत असे समजावे व एकचल फलनांप्रमाणेच अवकलन करावे.
फ(क्ष) हे एकचल फलन फ'(क्ष) अस्तित्वात असेल, तर निश्चितपणे संतत असतेच. पण अनेकचल फलनांच्या बाबतीत मात्र आंशिक अवकलज अस्तित्वात असले की सांतत्य असेलच असे नाही. आंशिक अवकलज अस्तित्वात असूनही त्या जागी फलन संतत नाही, असे दाखविता येते. उच्चकोटिक आंशिक अवकलज : फक्ष(क्ष,य) हे पुन्हा क्ष आणि य चे फलन असल्यामुळे त्याचे आंशिक अवकलज काढता येतात.
लायप्निट्स विनिमय-सूत्र
जर फक्षय आणि फयक्ष ही फलने (क्ष०, य०) बिंदूशी संतत असतील, त तेथे ती समान असतात. फक्षय = फयक्ष असेच सूत्र उच्चतर कोटींच्याआंशिक अवकलजांसंबंधीही मांडता येते. पूर्ण अवकलन : जर ∆झ=फ(क्ष+∆क्ष,य+∆य) – फ (क्ष,य) हा झ मधील बदल ** [जिथे क, ख हे ∆क्ष आणि ∆य वर अवलंबून नाहीत आणि ∆क्ष०, ∆य० असता उ० असून **आहे] अशा रीतीने लिहिता येत असेल, तर फ(क्ष, य) त्या बिंदूशी (क्ष, य) अवकलनी आहे, असे म्हणतात. अर्थातच क=फक्ष आणि ख=फय हे आंशिक अवकलजाच्या व्याख्येवरूनच मिळते. dझ=फक्ष dक्ष+फयdय असे लिहून dझ ला ‘’झ[=फ(क्ष, य)] चा पूर्ण अवकल‘’ म्हणतात. एकचल फलनांच्या बाबतीत अवकलनीयता म्हणजेच अवकलजांचे अस्तित्व होय, त्याचप्रमाणे उलटही असते. परंतु अनेकचल फलनांच्या बाबतीत आंशिक अवकलजांचे अस्तित्व म्हणजे अवकलनीयता असेलच असे नाही. यासंबंधीची प्रमेये पुढीलप्रमाणे आहेत : (१) जर फ (क्ष, य) हे फलन एखाद्या बिंदूशी अवकलनीय असेल, तर ते तेथे संततही असलेच पाहिजे. (२) जर फक्ष आणि फय हे एखाद्या
बिंदूशी संतत असतील तर तेथे फ अवकलनीय असते आणि अर्थातच संततही असते. पूर्ण अवकलाचा भूमितीय अर्थ पुढीलप्रमाणे आहे : जर फ (क्ष, य) हे फलन (क्ष०, य०) बिंदूशी अवकलनीय असेल तर झ=फ(क्ष, य) या पृष्ठाला (क्ष०, य०, झ०) बिंदूशी स्पर्शप्रतल असून त्याचे समीकरण**असे असते. येथे फक्ष० आणि फय० ह्या फक्ष, फय यांच्या क्ष=क्ष० व य=य० असतानाची मूल्ये होत. एकचल फलनांप्रमाणेच अनेकचल फलनांची आसन्न मूल्ये पूर्ण अवकलाचा उपयोग करून काढता येतात. उच्चकोटिक पूर्ण अवकल : समजा, झ=फ(क्ष, य) या फलनास (क्ष०, य०) पाशी पूर्ण अवकल dझ असून**या आंशिक अवकलजांनासुद्धा पुर्ण अवकल आहे. तेव्हा ‘’फ(क्ष, य) ला द्वितीय कोटीचा पूर्ण अवकल (d२झ) आहे‘’ असे म्हणतात.**असे लिहिले, तर**असे लिहिता येईल. अशाच तर्हेने d३झ,..., dपझ इ. उच्चतर कोटींचे पूर्ण अवकल लिहिता येतील. उदा., **या ठिकाणी सोयीसाठी सांकेतिक कारकाचा (गणितीय कृत्य दर्शविणार्या चिन्हाचा) उपयोग केलेला आहे, हे लक्षात घ्यावे. आयलर प्रमेय : जर फ (त क्ष, त य)=तप फ (क्ष, य) असेल तर, ‘’ फ (क्ष, य) हे फलन (प-घाती) समघात आहे‘’ असे म्हणतात.अशा फलनांसाठी**असते. टेलर प्रमेय : (क्ष, य) आणि (क्ष+ह, य+ल) या बिंदूंमध्ये असणार्या प्रत्येक बिंदूंशी जर झ=फ(क्ष, य) या फलनाचे (प+१) कोटीपर्यंतचे पूर्ण अवकल अस्तित्वात असतील, तर****असून शप+१ हा शेषभाग (लाग्रांझप्रणीत रूपात) खाली दिल्याप्रमाणे असतो.** येथे (क, ख) हा (क्ष, य) आणि (क्ष+ह,य+ल) यांमध्ये असणारा एक बिंदू आहे. फ(क्ष, य)ची महत्तम व लघुतम मूल्ये : (क्ष०, य०) चा एखादी परिसर असा असेल की, त्यातील प्रत्येक (क्ष, य) बिंदूकरिता फ(क्ष, य) फ(क्ष०, य०) हे सत्य आहे, तर ‘’(क्ष०, य०) बिंदूशी फलन फ महत्तम आहे‘’ असे म्हणतात. याचप्रमाणे लघुतमाविषयीही म्हणता येईल. टेलर प्रमेयाचा उपयोग करून पुढील अटी सिद्ध करता येतात : (क्ष०, य०) या बिंदूशी जर **असेल तर तेथे फ महत्तम असते. जर (क्ष०, य०) या बिंदूशी ** असेल तर तेथे फ लघुतम असते. उदा., एका चौकोनी हौदाचे घनफळ ३२ मी.३ पाहिजे. जर तळाच्या आणि बाजूच्या उभ्या भिंतींच्या क्षेत्रफळांची बेरीज लघुतम हवी असेल, तर हौदाची मापे काय असावीत? समजा, तळाच्या बाजू क्ष आणि य आहेत, तर उंची**असली पाहिजे. आता सर्व क्षेत्रफळ जर झ असेल तर **म्हणजेच यक्ष२=क्षय२=६४ असावयास पाहिजे. म्हणून य=क्ष असावे. म्हणजेच क्ष=य=४ आणि म्हणून उंची २ असली पाहिजे. आता **आणि**असल्याने क्ष=४=य असता झ लघुतम आहे. यावरून हौदाची मापे तळ ४X४ मी. आणि उंची २ मी. अशी असली पाहिजेत. समाकलन : [क, ख] अंतरालातील कोणत्याही क्ष साठी जर ग‘’(क्ष)=फ(क्ष) असेल तर ‘’ग (क्ष) हे फ (क्ष) चे (क, ख) वरील आदिफन आहे‘’ असे म्हणतात व हे ग(क्ष)=फ(क्ष) d क्ष असे लिहितात. हे समाकल चिन्ह होय. जर (क, ख) मध्ये फ(क्ष) संतत असेल, तर असे आदिफन अस्तित्वात असते. जर ग‘’(क्ष)=फ(क्ष) असेल आणि म स्वेच्छ स्थिरांक (ज्याला जरुरीप्रमाणे निरनिराळी मूल्ये देता येतात अशा स्थिरांक) असेल तर ग(क्ष)+म या फलनाची अवकलज फ(क्ष) हाच असेल, हे उघड आहे. म्हणजेच फ(क्ष) dक्ष = ग(क्ष) + म असे लिहिता येऊन अनंत आदिफलने मिळतील. म चे मूल्य निश्चित केलेले नसल्यामुळे अशा आदिफलनास ‘’अनिश्चित समाकल‘’ असेही म्हणण्याचा प्रघात आहे. म ला ‘’समाकलनाचा स्थिरांक‘’ म्हणतात. वरील व्याख्येवरून **हे सहज लक्षात येईल. अर्थातच आदिफलन शोधणे म्हणजे व्यस्तावकलानच होय. यावरून खालील काही सूत्रे सहज लिहिता येतील :** आदिफलन (समाकल) काढण्यासाठी काही प्राथमिक नियम सहजसिद्ध आहे. ते असे :** यालाच ‘’खंडशः समाकलनाचा नियम‘’ असे म्हणतात. उदा.,** असे लिहून नियम ३ वापरल्यास **असे उत्तर मिळते. आदिफलने काढण्याच्या रीती पुढील प्रमाणे आहेत : (१) आदेश पद्धती : बर्याच वेळा काढावयाचे आदिफलन फ(क्ष) dक्ष हे क्लिष्ट असते पण जर झ=ह(क्ष) अशा फलनआदेशाची योजना केली, [dझ=ह'(क्ष)dक्ष], तर ग(झ) dझ असे सोपे रूप मिळण्याची शक्यता असते. उदा., ज्या२क्ष कोज्या क्ष dक्ष. येथे जर झ=ज्या क्ष हा आदेश वापरला, तर dझ=कोज्या क्षdक्ष येईल आणि दिलेले आदिफलन ** असे मिळेल. प्रत्यादेशाने ** असे उत्तर मिळेल. (२) ** ठिकाणी झ=फ(क्ष) हा आदेश वापरला आहे. हे सूत्र पुष्कळदा उपयोगी पडते. (३) जर ** हा आदेश वापरला तर ज्या **, ** असल्याचे दिसून येईल. यावरून त्रिकोणमितीय फलनाच्या समाकलाचे रूपांतर बैजिक फलनाच्या समाकलात करता येईल. रीमान समाकल : समजा, फ(क्ष) हे [क, ख] मध्ये बंधित फलन आहे. [क, ख] अंतरालात क=क्ष०क्ष१क्ष२......क्षप-१क्षप=ख अशी क्ष ची निरनिराळी मूल्ये घेऊन [क, ख] अंतरालाचे प भागात विभाजन केले. अशा तर्हेने तयार झालेल्या पहिल्या उप-अंतरालात क्ष०ग१क्ष१ असे कोणतेही क्ष चे एक मूल्य घेतले. तसेच दुसर्यात ग२, क्ष१ग२क्ष२, आणि अशा रीतीने सर्व उप-अंतरालात प्रत्येकी एक अशी (ग३, ग४,...गप) क्ष मूल्ये घेतली. यात लक्षात ठेवण्याचा महत्त्वाचा मुद्दा म्हणजे क्ष०,क्ष१,क्ष२...,क्षप आणि ग१,...,गप या क्ष मूल्यांवर इतर कसलेही बंधन नाही. आता सप=फ(ग१)(क्ष१-क्ष०)+फ(ग२) (क्ष२-क्ष१)+......+फ(गप) (क्षप-क्षप-१) अशी श्रेढी तयार केली. प्रत्येक स्वेच्छा विभाजनाकरिता ही बेरीज वेगळी असेल, हे उघड आहे. समजा, सर्व प उप-अंतरालात महत्तम लांबीच्या उप-अंतरालाची लांबी उ आहे. आता प आणि उ० राहील अशा तर्हेने विभाजन करीत गेले असता सीमा सप जर (सांत) अस्तित्वात असेल, तर फ (क्ष) हे फलन [क, ख] अंतरालात रीमानीय अर्थाने समाकलनीय आहे असे म्हणतात. हेच**असे लिहितात. क आणि ख यांना समाकलनाच्या ‘’निम्न‘’ आणि ‘’ऊर्ध्व‘’ सीमा म्हणतात. तसेच** वरील रीमान समाकल (रीमान या गणितज्ञाच्या नावावरून) म्हणतात. रीमान समाकलचे गुणधर्म विशद करणारी काही प्रमेये पुढे दिलेली आहेत. (१) [क, ख] मध्ये संतत असणारे कोणतेही फलन रीमान समाकलनीय असते. जर फलन [क, ख] मधील ज्या बिंदूनी खंडित आहे, अशा बिंदूंची संख्या सांत असेल, तर ते फलनही रीमान समाकलनीय असते. (२) जर फ(क्ष) व ग(क्ष) ही फलने (क, ख) मध्ये समाकलनीय असतील, तर भ फ (क्ष)+ म ग(क्ष); (भ, म स्थिरांक);फ(क्ष) Xग (क्ष), ** ही फलनेही समाकलनीय असतात. तसेच**ही सूत्रे सत्य असतात. (३) जर फ(क्ष) हे [क, ख] मध्ये समाकलनीय असेल आणि कघख असेल तर **असे असते. याचा व्यत्यासही सत्य आहे. यापुढे [(४) ते (७) पर्यंत] फ(झ) आणि ग(क्ष) ही [क, ख] मध्ये रीमान समाकलनीय आहेत असे समजावे.** (७) जर [क, ख] मध्ये भफ(क्ष)म आणि ग(क्ष)० असेल, तर**यात जर ग (क्ष)१ असे मानले, तर** जशी अवकलनात माध्य-मूल्य-प्रमेये आहेत त्याचप्रमाणे समाकलनातही आहेत. (८) पहिले माध्य-मूल्य-प्रमेय : [क, ख] अंतरालात जर फ(क्ष) संतत असेल, तर त्या अंतरालात एकतरी बिंदू व असा असतो की, **असे समीकरण मिळते. फ(घ)ला ‘’फ (क्ष) चे
[क, ख] मधील माध्य-मूल्य‘’ असे म्हणतात. अधिक व्यापक स्वरूपात हे प्रमेय पुढीलप्रमाणे मांडतात : जर [क, ख] अंतरालात फ(क्ष) संतत आणि ग(क्ष) समाकलनीय असतील आणि ग(क्ष) ० (किंवा ग (क्ष) ०) असेल, तर [क, ख] मध्ये एक तरी बिंदू घ असा असतो, की** (९) दुसरे माध्य-मूल्य-प्रमेय : जर ग (क्ष) हे [क, ख] अंतरालात एकदिक् (सातत्याने कमी होणारे किंवा वाढणारे) फलन असेल आणि फ(क्ष) समाकलनीय असेल, तर [क, ख] मध्ये एक तरी बिंदू घ असा असेल, की** (१०)श्व्हार्त्स-कोशी असमा : ** (११) जर**असे लिहिले, तर ह (क्ष) हे फलन [क, ख] मध्ये संतत असते, तर फ(त) संतत असेल तर प्रत्येक बिंदूपाशी अवकलज अस्तित्वात असतो आणि** (१२) कलनशास्त्रीय मूलभूत प्रमेय : [क, ख] मध्ये जर फ(क्ष) संतत असून ग(क्ष) हे त्याचे आदिफलनसुद्धा संतत असेल, तर** या प्रमेयामुळे रीमान समाकल आणि आदिफलन यांमध्ये असलेला संबंध स्पष्ट होतो. व्यवहारात रीमान समाकल सुलक्षपणे काढण्याकरिता (वर दिलेल्या अटी पूर्ण होत असल्यास) या प्रमेयाचा फार उपयोग होतो. सीमा-संकल्पनेच्या आधारे समाकलाची व्याख्या करून त्याचा अभ्यास करण्यात काही फायदे आहेत. पहिला म्हणजे व्यवहाराशी जुळणारी उपपत्ती (उदा., विद्युत् चुंबकीय उपपत्तीत येणारे समाकल) देताना आदिफलनाच्या संदर्भाची जरूरी नसते. दुसरा म्हणजे ही उपपत्ती जास्त व्यापक आहे, कारण तुलनेने फार थोड्या फलनांना आदिफलने असतात, तर पुष्कळच फलनांना रीमान समाकल असतो. या प्रमेयाचे समीकरण म्हणजे न्यूटनप्रणीत निश्चित समाकलाची व्याख्या होय. या व्याख्येमध्ये फक्त आदिफलनाचे अस्तित्व गृहीत धरलेले असते. फलन फ संतत असेल तर रीमान व न्यूटन यांच्या व्याख्या एकच आहेत, असे या प्रमेयावरून दिसून येते. समाकलाचा भूमितीय अर्थ : समजा, (क, ख) मध्ये फलन फ(क्ष) संतत आहे. यफ(क्ष) हा फलनवक्र काठा (पहा आ. ७). रीमानीय विभाजनानुसार क्ष=क=क्ष०, क्ष=क्ष१, क्ष=क्ष२, ..., क्ष=क्षप=ख या य-अक्षास समांतर रेषा काढा. विवेचनाकरिता यांतील**एक उप-अंतराल (क्षर-१, क्षर) घेऊ. समजा, या उप-अंतरालात फ(क्ष) ची लघुतम आणि महत्तम मूल्ये अनुक्रमे लर आणि मर असून उर=क्षर-क्षर-१ ही उप-अंतरालाची लांबी आहे. क्षर-१, क्षर हा पाया व लर आणि मर उंची घेऊन दोन आयत काढा. यांची क्षेत्रफळे अनुक्रमे **आणि**इतकी होतील. तसेच ** हे नेहमीच खरे असणार, हे उघड आहे. अशा रीतीने सर्व प-उप-अंतरालांकरिता विचार करून ज्या असमा मिळतील त्यांची एकत्रित बेरीज केली असता**अशा असमा मिळतात. अगदी डावीकडील राशी म्हणजे वक्राच्या खाली असणार्या आयतांच्या क्षेत्रफळांची बेरीज असून अगदी उजवीकडील राशी वक्राच्या वरपर्यंत पोहोचणार्या आयतांच्या क्षेत्रफळांची बेरीज आहे. ह्या बेरजांना ‘’दार्बू (Darboux) योग‘’ (दार्बू या गणितज्ञाच्या नावावरून) म्हणतात (पहा: आ. ७). समजा, फलन-वक्र, क्ष=क, क्ष=ख आणि क्ष-अक्ष यांनी बंदिस्त असलेल्या जागेचे क्षेत्रफळ त आहे. तर आतील आयतांचे एकत्र क्षेत्रफळ त पेक्षा केव्हाही (कोणत्याही तर्हेच्या विभाजनासाठी) लहान असणार, तसेच बाहेरील आयतांचे एकत्रित क्षेत्रफळ त पेक्षा मोठे असणार, तसेच बाहेरील आयतांचे एकत्रित क्षेत्रफळ त पेक्षा मोठे असणार, हे उघड आहे. तसेच, जर प आणि उ० (उ म्हणजे उ१, उ२,...,उप यांतील महत्तम) असेल, तर दोन्ही प्रकारच्या आयतांच्या क्षेत्रफळांच्या बेरजांची सीमा त असेल. यावरून**पण डावीकडील आणि उजवीकडील सीमा त असल्याने,**म्हणजे समाकलाच्या व्याख्येवरून**असे सूत्र मिळते. क्षेत्रफळ हे नेहमी घन संख्या (किंवा शून्य) असते. जर वरील विवेचनातील [क, ख] च्या एखाद्या उप-अंतरालात फ(क्ष) ० असेल, तर तेथे समाकल ऋण चिन्हाचा येईल. पण जर आपणास केवल क्षेत्रफळ पाहिजे असेल, तर त्या उप-अंतरालापुरते फ(क्ष) चे चिन्ह बदलून घ्यावे लागेल. समाकलाचे अनुप्रयोग : एखाद्या योगाची (बेरजेची) सीमा म्हणजेच समाकल या व्याख्येचा उपयोग करून आपण फलन-वक्राखालच्या भागाचे क्षेत्रफळ काढण्यासंबंधीचे सूत्र सिद्ध केले, त्याचप्रमाणे इतरही काही सूत्रे सिद्ध करता येतात. (१) समजा, [०, १] या अंतरालाचे प समान भाग केले. रीमान समाकलाच्या संकेतानुसार **आणि**असे घेतले असता, फ फलनाकरिता खालील सूत्र लिहिता येईल :**आता फ च्या निरनिराळ्या रूपांनुसार वेगवेगळी सूत्रे तयार करता येतील उदा., फ(क्ष)=क्ष२ घेतले, तर**याप्रमाणेच इतर श्रेठींकरिताही सूत्रे मिळवता येतील. (२) य=फ(क्ष) या फलन-वक्राच्या क्ष=क ते क्ष=ख या बिंदूंमधील ल लांबीकरिता खालील सूत्र मिळते.** (३) समजा, य=फ(क्ष) हा फलन-वक्र क्ष-अक्षाभोवती फिरवला तर जी घनाकृती मिळेल, तिचे क्ष=क, क्ष=ख यांमधील भागाचे घनफळ घ खालील सूत्राने मिळते :** त्याचप्रमाणे या घनाकृतीच्या वर निर्देशिलेल्या भागाच्या वक्रपृष्ठाचे क्षेत्रफळ पृ असेल तर** (४) समजा, य=फ(क्ष) या वक्राच्या स्वरूपात
एखादा पदार्थ असून [क्ष, फ(क्ष)] या बिंदूशी त्याची घनता द (क्ष) आहे. तर क्ष=क ते क्ष=ख या बिंदूंमधील पदार्थाच्या तुकड्याकरिता पुढील सूत्रे मिळतात :** (५) वर दिल्याप्रमाणे वक्रवेष्टित पृष्ठभागासाठी आणि वक्रपरिभ्रमणोत्तर (वक्राच्या भ्रमणाने तयार होणार्या) घनाकृतीसाठीही सूत्रे मांडता येतात. (६) एखादा वस्तुकण वक्रमार्गे क्ष=क पासून ते क्ष=ख बिंदूपर्यंत हलविण्याकरिता एखाद्या प्रेरणेने किती कार्य केले, हे समाकलाद्वारे काढता येते. (७) जर वक्र प्रचलीय समीकरणाच्या रूपात दिलेला असेल तर त्यानुसार सूत्रे मिळवता येतात. उदा., क्ष=फ(त), य= ग(त) या त-प्रचलीय समीकरणाने मिळणार्या वक्राखालच्या त=त१ ते त=त२ या बिंदूंमधील जागेच्या क्षेत्रफळासाठी पुढील सूत्र मिळते :** आसन्न समाकल : काही वेळा आदिफलन सुलभपणे ठरवता येत नाही, तर कित्येकदा य=फ(क्ष) असे गणितसूत्रात फलनाचे वर्णन न करता (क्षर, यर), र=१, २,......, अशा कोष्टकरूपात फलन वर्णन माहीत असते (येथे दिलेल्या बिंदूंना शक्य तो जवळचा असा वक्र घेतात), अशा वेळी आसन्न समाकल काढतात. त्यासंबंधी महत्त्वाची सूत्रे खाली आहेत :
(१) आयत सूत्र : समजा, ** आणि** असे घेतले, तर** हे या सूत्रान्वये **याचे आसन्न मूल्य होय. आ. ८ वरून हे प आयतांचे क्षेत्रफळ आहे, हे लक्षात येईल.
(२) समलंबी सूत्र: यामध्ये, वरील संकेत वापरून ** याचे आसन्न मूल्य ** असे घेतात. ही समलंब चौकोनांच्या क्षेत्रफळांची बेरीज होय.
(३) सिम्पसन सूत्र : समजा ** प सम पूर्णांक, ** या समाकलाच्या आसन्न मूल्यासाठी सिम्पसन सूत्र ** असे आहे. या सूत्रामध्ये [क, क+२ह] या अंतरालातील वक्राकरिता त्यातील (क, य०), (क+ह, य१) आणि (क+२ ह, य२) या बिंदूंतून जाणारा अन्वस्त आसन्न वक्र म्हणून मानतात. तसेच [क+२ह, क+४ ह] या अंतरालातील वक्राच्या भागासाठी (क+२ह, य२), (क+३ह, य३) आणि (क+४ह, य४) या बिंदूंनी निश्चित होणारा अन्वस्त आणि अशा तर्हेने शेवटपर्यंत अन्वस्तांच्या साहाय्याने आसन्नीकरण करतात. वक्राखालच्या भागाकरिता, अन्वस्ताकरिता जे सूत्र येईल ते आसन्न मूल्य काढण्यासाठी वापरतात. (४) चेविशॉव्ह सूत्र : समजा, ** आणि यरफ(क्षर)ग(तर) (वरील रूपांतराने), तर चेबिशॉव्ह सूत्रानुसार **म्हणजेच**या समकालाचे मूल्य ** असे असते. या सूत्राचा विशेष म्हणजे अंतरालाच्या कडेच्या क्ष-मूल्यांकरिता फ(क)=य०, फ(ख)=यप ही मूल्ये लागत नाहीत. अशा आसन्नीकरणामुळे त्रुटी किती येते, याकरिता काही सूत्रे आहेत:**येथे क-हघक+ह. अनुचित समाकल : वर विवेचन केलेल्या रीमान समाकलाकरिता फ (क्ष) हे फलन बंधित मूल्याचे असून [क, ख] हे अंतराल सांत लांबीचे असावे लागते. अनुचित समाकल हा अधिक व्यापक अर्थाटा समाकल आहे. व्याख्या -१: समजा, फ(क्ष) हे फलन [क, घ] अंतरालात रीमानीय अर्थाने समाकलनीय आहे. कघख असेल तर [क, ख] या सर्व अंतरालात ते बंधित असेलच असे नाही, तर ख च्या (डाव्या) परिसरात ते अबंधितही असू शकेल, जर सीमा **[स-सांत संख्या] ही सीमा अस्तित्वात असेल, तर** हा समाकल अभिसारी आहे, असे म्हणतात आणि तो**असा लिहितात. जर ही सीमा अस्तित्वातच नसेल (किंवा अनंत असेल), तर समाकल अपसारी आहे किंवा अस्तित्वातच नाही, असे म्हणतात. याचप्रमाणे ** या समाकलासंबंधीही म्हणता येईल. व्याख्या -२: जर ग हा (क, ख) मधील एक दिलेला बिंदू असल्यास आणि [क, क'], [ख', ख] (येथे क क' ग ख' ख) या स्वेच्छ अंतरालांसाठी [फ(क्ष) हे फलन ग च्या परिसरात बंधित असेलच असे नाही], जर ** आणि ** हे दोन्ही समाकल अभिसारी असतील, तर** हा समाकल अभिसारी आहे, असे म्हणतात. त्याचे मूल्य म्हणजे वरील दोन समाकलांची बेरीज होय. व्याख्या -३: जर फ (क्ष) प्रत्येक [क, ख] अंतरालात रीमान अर्थी समाकलनीय असून ** असेल, (स-सांत), तर** हा अभिसारी समाकल आहे, असे म्हणतात व स हे त्याचे मूल्य होय. याचप्रमाणे ** याची व्याख्या करतात.तसेच जर ** आणि ** हे दोन्ही समाकल अभिसारी असतील, तर (त्या दोहोंची बेरीज म्हणजे)** अभिसारी आहे, असे म्हणतात. काही महत्त्वाचे समाकल : (१)** स यास ‘’गॅमा फलन‘’ किंवा ‘’ऑयलर यांचे दुसर्या क्रमांकाचे समाकल फलन‘’ म्हणतात. याचे काही गुणधर्म (अ) स=(स-१) (स-१)**B(व, ध) यास ‘’ऑयलर यांचे प्रथम क्रमांकाचे समाकल फलन‘’ किंवा ‘’बीटा फलन‘’ म्हणतात.याचे काही गुणधर्म
यांना ‘’लझांद्र समाकल (साधारण रूपी)‘’ म्हणतात. यांच्या वस्त फलनांवरून विवृत्तीय फलने मिळतात. **यात ग (क्ष, य) हे क्ष आणि य या दोन चलांचे परिमेय फलन असून ह (क्ष) ही तृतीय किंवा चतुर्थ घाती बहुपदी असेल, तर या समाकलास ‘’विवृत्तीय समाकल‘’ म्हणतात. जर ह (क्ष) चतुर्थ घातापेक्षा जास्त घाताची बहुपदी असेल, तर त्याला ‘’अति-विव-वृत्तीय समाकल‘’ म्हणतात. योग्य अशा रूपांतरणाने हे समाकल लझांद्र समाकलाच्या साहाय्याने सोडविता येतात. दुहेरी समाकल : समजा, झफ(क्ष, य) हे द्विचल फलन कक्षय, गयघ यांनी निश्चित केलेल्या आ ह्या आयतात बंधित आहे. [क, ख] या अंतरालाचे ∆क्ष१, ∆क्ष२,..., ∆क्षम लांबीच्या म उप-अंतरालांत आणि [ग, घ] चे ∆य१, ∆य२,..., ∆यप लांबींच्या उप-अंतरालांत विभाजन केले. अर्थातच आ आयताचे मXप उप-आयत मिळतील. या सर्व उप-आयतांतील महत्तम कर्णाची लांबी उ आहे, असे समजू. आता ∆क्षर हा पाया आणि ∆यल ही उंची असलेल्या उप-आयतात कोठेही एक बिंदू (क्षर, यल) घेतला आणि ** असे पद तयार केले. अशीच एकूण मXप उप-आयतांकरिता मXप पदे तयार करून त्यांच्या बेरजेस सम प असे नाव दिले म्हणजेच ** असे लिहिता येईल. आता म, प आणि उ० असता सीमा सम प अस्तित्वात असेल, तर फ(क्ष, य) हे फलन रीमान अर्थाने आ आयतात समाकलनीय आहे असे म्हणतता आणि हे **
दुहेरी समाकलासंबंधी काही प्रमेये : (१) जर फ (क्ष, य) हे फलन कक्षख, गयघ या आयतात संतत असेल, तर ते समाकलनीयही असते. (२) जर फ (क्ष, य) हे फलन आ ह्या आयतामध्ये काही सांत बिंदू किंवा ज्या बिंदूंनी संतत सांत वक्र तयार होतात असे बिंदू सोडून इतर ठिकाणी संतत असेल तर ते आ मध्ये समाकलनीय असते. या प्रमेयाच्या साहाय्याने आयताकाराऐवजी इतर आकाराच्या भागांवरील समाकलाची व्याख्या करता येते. समजा, व हा एक आवृत (बंद) वक्र आहे. त्याचा समावेश करणारा आ हा आयत घ्या. समजा, ज (क्ष, य) हे असे फलन घेतले की ब मधील बिंदूंशी ज (क्ष, य)=फ(क्ष, य) असून इतर ठिकाणी मात्र ज (क्ष, य)=० आहे. अर्थातच ** हे उघड आहे. (३) भूमितीय अर्थ : जर फ(क्ष, य) हे संतत असून धन चिन्हांकित असेल तर दुहेरी समाकल ** म्हणजे ज्या
घनाकृतीचा पाया व वक्र आणि वरता पृष्ठभाग झ=फ(क्ष, य) असून उभ्या बाजू क्ष-अक्षास समांतर आहेत, अशा घनाकृतीचे घनफळ होय (पहा : आ. ९) (४) जर द मध्ये फ (क्ष, य) आणि ग (क्ष, य) समाकलनीय असतील, तर ** ही फलनेसुद्धा समाकलनीय असतात. (द, ध – स्वेच्छ स्थिरांक). (५) फ आणि ग ही फलने द मध्ये समाकलनीय असून दफध, ग० असेल, तर **
(६) माध्य-मूल्य-प्रमेय : जर फ(क्ष, य) हे फलन व या आवृत वक्रामध्ये सर्व बिंदूंशी संतत असेल, तर व मध्ये एक तरी असा बिंदू (क्ष०, य०) असला पाहिजे की,**येथे (व)=व ने आवृत केलेल्या भागाचे क्षेत्रफळ. (७) जर फ(क्ष, य) हे फलन आ या आयतात. [आयत क क्ष ख, ग य घ] संतत असेल तर **फ(क्ष, य) हे फलन प्रमेय (२) मधील फलनाप्रमाणे असले तरी चालेल, हे उघड आहे. या प्रमेयाचा व्यवहारात फार उपयोग होतो. दुहेरी समाकल हा एकेरी समाकल पुन्हा पुन्हा वापरून काढता येतो. म्हणून याला ‘’पुनरावृत्त समाकल‘’ असेही म्हणतात. वर दिलेले सूत्र पुढीलप्रमाणेही लिहितात :**उदा., ** या सूत्राच्या विवृत्तपृष्ठाचे घनफळ व काढा. झ=० प्रतलाच्या वरच्या भागाचे घनफळ काढून दुप्पट केले असता पाहिजे असलेले उत्तर मिळेल. अर्धवृत्तपृष्ठाचा पाया ** हा वक्र व होय आणि पृष्ठभाग ** होय. म्हणून **** आदेश पद्धती : बर्याच वेळा क्ष, य ह्या चलांचे ट, उ चलांमध्ये रूपांतरण केल्याने समाकल सुलभतेने सोडविता येतो. जर क्ष=क्ष(ट, ठ) आणि य=य (ट, ठ) यामुळे व ह्या (क्ष, य करिता) वक्रवेष्टित भागाचे द या वक्रवेष्टित भागावर एकास-एक चित्रण होत असेल, फ(क्ष, य) चे रूपांतर ग (ट, ठ) मध्ये होत असेल आणि ** इ. क्ष, य चे आंशिक अवकलज अस्तित्वात असून**** तिहेरी समाकल: दुहेरी समाकलाच्या धर्तीवरच त्रिमितीमध्ये तिहेरी समाकलाची व्याख्या करतात. फ (क्ष, य, स) हे फलन अक्षआ, इयई, उझऊ यांनी निश्चित केलेल्या घनकल्पात बंधिक आहे. ह्या घनकल्पाचे (मागे दुहेरी समाकलाच्या वेळी केल्याप्रमाणे) उप-विभाग (उप-घनकल्प) पाडले. ∆क्षर∆यल∆झम या उप-घनकल्पात (क्षर, यल, झम) हा कोणताही बिंदू घेऊन फ(क्षर, यल, झम). ∆क्षर∆यल∆झम असे पद तयार केले. अशा सर्व पदांची बेरीज स केली. आता जर उप-घनकल्पांची संख्या अनंतोपगामी असता (आणि त्यातील महत्तम कर्णाची लांबी शून्योपगामी असता) जर सीमा स अस्तित्वात असेल तर ‘’फ (क्ष, य, स) हे फलन रीमान समाकलनीय आहे‘’ असे म्हणतात. हे खालीलप्रमाणे लिहितात :**याप्रमाणेच तिहेरी समाकलाचे गुणधर्म दुहेरी समाकलासारखेच (योग्य ते आनुषंगिक बदल करून) लिहिता येतील. किंबहुना अधिक चलांच्या समाकलां-विषयी तसेच अनुचित समाकलांविषयीही हेच म्हणता येईल. वक्रज (रेखा) समाकल : समजा, क्ष=ग(त), य=ह(त) (कतख) या फलनांद्वारे व हा वक्र निश्चित होतो. समजा, या वक्रावरील बिंदूंकरिता झ=फ(क्ष, य) हे फलन व्याख्यात आहे. त या प्राचलाच्या क=त०त१...तप-१तप=ख अशा मूल्यांनुसार बिंदूंनी व वक्राचे प भाग पडतील. यांतील र-व्या उप-वक्राची लांबी लर असून त्यामध्ये कोणताही (कर, खर) असा बिंदूं घेतला, असे समजू, आता जर असे लिहिले**
आणि जर प अनंतोपगामी असताना आणि महत्तम उपवक्रांची लांबी शून्योपगामी असताना सल, सक्ष, सय ह्या सीमा अस्तित्वात असतील तर ‘’ते वक्रज (रेखा) समाकल आहेत‘’ असे म्हणतात. हेच असेही लिहितात :** वरील (१) ला पहिल्या प्रकारचा आणि (२) आणि (३) यांना ‘’दुसर्या प्रकारचे वक्रज (रेखा) समाकल‘’ म्हणतात. वक्रज (रेखा) समाकलाचा भूमितीय अर्थ पुढीलप्रमाणे आहे. व वक्रावरील प्रत्येक (क्ष, य) या बिंदूवर झ [=फ(क्ष, य)] उंचीची झ-अक्षास समांतर रेषा उभी केली असता जे पृष्ठ मिळेल त्याचे क्षेत्रफळ म्हणजे**होय (पहा : आ. १०). याच पृष्ठाच्या क्षझ आणि यझ प्रतलांवरील प्रक्षेपांचे क्षेत्रफळ अनुक्रमे वरील (२) आणि (३) या सूत्रांनी मिळते. याच पद्धतीने पृष्ठ समाकलाचीही व्याख्या केली जाते. वक्रज समाकल आणि पृष्ठ समाकल यासंबंधी ग्रीन, गौ-ऑस्ट्रोग्राडस्की, स्टोक्स इत्यादींची प्रमेये महत्त्वाची असून त्यांचा विविध अनुप्रयुक्त गणितशाखांत अतिशय उपयोग होतो. लबेग समाकल : समाकलाची रीमानीय व्याख्या वापरली असता बरीचशी (तुलनेने साधी) फलने समाकलनीय असल्याचे दिसून येते. परंतु अशीही काही फलने आढळतात, की ती रीमान-अर्थी समाकलनीय नाहीत. उदा., [क, ख] अंतरालात फ(क्ष)=१ (क्ष-परिमेय म्हणजे पूर्णांकांच्या गुणोत्तराच्या स्वरूपात असलेला) फ(क्ष)=० (क्ष-अपरिमेय)असे फलन घेतले असता ते रीमान अर्थी समाकलनीय नाही, असे दाखविता येते. या आणि इतर काही अडचणींवर मात करणारी, जास्त व्यापक व उपयुक्त व्याख्या शोधण्याचे प्रयत्न झाले. त्यांतील एक म्हणजे लबेग समाकल होय. याची व्याख्या पुढीलप्रमाणे करतात : जे फलन [क, ख] अंतरालात बंधित आणि मापनीय असते ते लबेग अर्थी समाकलनीय असते [माप व समाकलन]. स्टील्टजेस समाकल : फ(क्ष) आणि ग(क्ष) ही [क, ख] मधील फलने असून ग(क्ष) एकदिक् आहे. क=क्ष०क्ष१क्ष२...क्षप-१क्षप=ख असे विभाजन केले. उर=क्षर-क्षर-१, उ=महत्तम (उ१, उ२,...,उप) आणि क्षर-१घरक्षर असेल, तर स या ग (क्ष) सापेक्ष फ (क्ष) च्या स्टील्टजेस समाकलाची व्याख्या खालीलप्रमाणे करतात :यात ग(क्ष)=क्ष घेतल्यास रीमान समाकल मिळतो
आ. १. अर्ध-लॉगपट
आ. २. सेल्सिअस आणि फॅरेनहाइट तापमानांचा तुलनात्मक संरेखन-पट.
आ. १. सीमेची व्याख्या.
आ. २. वक्राची स्पर्शिका.